¿Por qué son suficientes los desplazamientos infinitesimales para demostrar que se cumple una simetría?

No sé cómo aparecen estas cosas en QFT, pero si una respuesta "clásica" es suficiente para usted, aquí hay varias cosas:

• En primer lugar, debe decirnos qué quiere decir con "retenciones de simetría". A los efectos del teorema de Noether, lo que necesita es una representación de álgebra de Lie de un álgebra de Lie$\mathfrak g$en el espacio objetivo$V$de un campo$\psi$(aquí considero que un campo es un mapa del espacio-tiempo a un espacio de destino fijo; para que las simetrías "globales" tengan sentido, el campo debe ser una sección de un paquete vectorial trivial, por lo que está bien). Básicamente, puedes olvidarte de los grupos de Lie, porque el teorema de Noether no se preocupa por ellos. Por lo general, lo que tiene es una representación de grupo de Lie en el espacio de destino, y el teorema de Noether se aplica al mapa tangente de esta representación (por ejemplo, la representación de álgebra de Lie correspondiente).
• La invariancia infinitesimal en realidad implica una invariancia finita. Para simplificar la derivación, consideremos un "Lagrangiano" que solo depende del campo pero no de las derivadas del campo. Esto no cambia nuestros resultados, solo hace que sea más fácil de calcular. $$\\ $$ Dejar$\phi_\epsilon$ser un subgrupo de un parámetro de$G$(nuestro grupo de simetría) y sea$\psi\mapsto\phi_\epsilon(\psi)$ya sea su acción lineal sobre el campo a través de la representación. Obviamente tenemos debido a la propiedad del homomorfismo $$\phi_\epsilon(\phi_\tau(\psi))=\phi_{\epsilon+\tau}(\psi).$$ La variación del Lagrangiano se define como $$\delta\mathcal L(\psi)=\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))|_{\epsilon=0}.$$ Supongamos que esta variación desaparece (por simplicidad, estoy ignorando el caso cuando el Lagrangiano se convierte en una divergencia total) para cualquier$\psi$y cualquier subgrupo de un parámetro. Entonces el$\epsilon$-derivada también desaparece, cuando se evalúa en cualquier lugar, no solo en 0. Para ver esto, considere $$\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))|_{\epsilon=\epsilon}=\frac{d}{d\tau}\mathcal L(\phi_\tau(\phi_\epsilon(\psi)))|_{\tau=0}=\delta\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi)).$$ Pero dijimos que la variación desaparece en cualquier campo, incluido el campo$\psi^\prime=\phi_\epsilon(\psi)$, por lo que lo anterior desaparece. $$\\$$ Por lo tanto, obtenemos que si un Lagrangiano es infinitesimalmente simétrico bajo$G$, también satisface $$\frac{d}{d\epsilon}\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))=0$$ para cualquier subgrupo y campo de un parámetro, con esta derivada evaluada en todas partes. Pero sabemos que una función diferenciable cuya derivada se anula en todas partes debe ser constante en todas partes. Por lo tanto también obtenemos que $$\mathcal L(\psi)=\mathcal L(\phi_\epsilon(\psi))$$ para cualquier$\epsilon$(y también subgrupo y campo de un parámetro, etc.). $$\\$$ Ahora bien, este resultado estrictamente hablando solo está garantizado para elementos de grupo que pueden ser alcanzados por un subgrupo de un parámetro. tan dado$G$, podemos formar$G^\prime=\exp(\mathfrak g)$, y lo que hemos obtenido es que si el Lagrangiano es infinitesimalmente simétrico bajo$\mathfrak g$, entonces también es finitamente simétrico bajo$G^\prime=\exp(\mathfrak g)$. Sin embargo, la mayoría de los grupos en física que se consideran para las simetrías de Noether son tales que todos los elementos se pueden alcanzar desde el álgebra de Lie a través de la exponencialización.