Álgebra de mentira de cargas axiales

Question

Álgebra de mentira de cargas axiales

gian_25

A partir del lagrangiano (modelo sigma lineal sin ruptura de simetría, aquí $N$ es el doblete del nucleón y $\tau_a$ son matrices de Pauli)

$L=\bar Ni\gamma^\mu \partial_\mu N+ \frac{1}{2} \partial_\mu\sigma\partial^\mu\sigma+\frac{1}{2}\partial_\mu\pi_a\partial^\mu\pi_a+g\bar N(\sigma+i\gamma_5\pi_a \tau_a)N$

podemos construir corrientes conservadas usando el Teorema de Noether aplicado a $SU(2)_L\otimes SU(2)_R$ simetría: obtenemos tres corrientes por cada $SU(2)$ . Sumándolos y restándolos, obtenemos corrientes vectoriales y axiales.
Podríamos haber obtenido cargas vectoriales rápidamente al observar que son solo cargas de isospín, por lo que los nucleones se comportan como un $SU(2)$ doblete (representación fundamental), piones como triplete (representación adjunta) y sigma como singlete (por lo que básicamente no se transforma):

$V_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}N+\dot\pi_b(-i\epsilon_{abc})\pi_c]$

Pero si quisiera hacer lo mismo con cargas axiales, ¿qué álgebra/representación de Lie debo usar para piones y sigma?
Quiero decir, las cargas axiales son

$A_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}\gamma_5N+i(\sigma\dot\pi_a-\dot\sigma\pi_a)]$

y me gustaría reproducir el segundo término usando una representación de generadores de álgebra de Lie de simetría axial que actúan sobre $\sigma$ y $\pi$ , pero no sé el álgebra (creo que es $SU(2)$ ), ni la representación a utilizar.
Traté de reproducir esa forma usando las tres matrices.

$T^1=\begin{bmatrix} 0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^2=\begin{bmatrix} 0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0 \end{bmatrix}$

que debe actuar sobre el vector $(\sigma,\pi_1,\pi_2,\pi_3)$ , pero calculé su conmutador y no forman un álgebra, así que creo que me estoy equivocando en alguna parte de mi razonamiento.

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Álgebra de mentira de cargas axiales

David Bar Moshé · Answer 1

En el modelo sigma lineal, la acción quiral en los campos de piones se puede implementar en la siguiente combinación matricial de los campos:

tu (2) ∋ Σ = σ + i τ^{a} π_{a}

$U(2) \ni \Sigma = \sigma + i \tau^a \pi_a$

Un elemento $(U_L = exp(\frac{i}{2}\theta^{(L)}_a \tau^a), U_R = exp(\frac{i}{2}\theta^{(R)}_a \tau^a)) \in SU(2)_L \otimes SU(2)_R$ actúa sobre \Sigma de la siguiente manera:

Σ \to Σ^{'} = {tu}_{L} Σ {tu}_{R}^{†}

$\Sigma \rightarrow \Sigma' = U_L \Sigma U_R^{\dagger}$

El término cinético del Lagrangiano en la representación matricial viene dado por:

L_{k i norte} = \frac{1}{2} \partial_{m} Σ \partial^{m} Σ^{†}

$L_{kin} = \frac{1}{2} \partial_{\mu}\Sigma \partial^{\mu}\Sigma^{\dagger}$ .

Este término es manifiestamente invariable bajo todas las transformaciones. El término de interacción tiene también una forma manifiestamente invariante:

L_{i norte t} = {\bar{norte}}_{L} Σ {norte}_{R} + {\bar{norte}}_{R} Σ^{†} {norte}_{L}

$L_{int} = \bar{N}_L \Sigma N_R+ \bar{N}_R \Sigma^{\dagger} N_L$ .

dónde $N_{L,R} = (1\pm \gamma_5)N$ . Así, todo el Lagrangiano es invariante bajo las transformaciones quirales.

La transformación vectorial es generada por el subgrupo caracterizado por:

θ^{(L)} = θ^{(R)} = θ^{(V)}

$\theta^{(L)} = \theta^{(R)} = \theta^{(V)}$

La transformación axial es generada por el subconjunto caracterizado por:

θ^{(L)} = - θ^{(R)} = θ^{(A)}

$\theta^{(L)} = -\theta^{(R)} = \theta^{(A)}$

Sustituyendo en las ecuaciones de transformación de $\Sigma$ y manteniendo solo los términos lineales (esto es suficiente para la aplicación del teorema de Noether), obtenemos:

-Transformación de vectores:

π_{a}^{'} = π_{a} + ϵ_{a b C} θ_{b}^{(V)} π_{C}

$\pi_a' = \pi_a +\epsilon_{abc}\theta^{(V)}_b \pi_c$

σ^{'} = σ

$\sigma' = \sigma$

-Transformación axial:

π_{a}^{'} = π_{a} + θ_{a}^{(A)} σ

$\pi_a' = \pi_a +\theta^{(A)}_a \sigma$

σ^{'} = σ + θ_{a}^{(A)} π_{a}

$\sigma' = \sigma + \theta^{(A)}_a \pi_a$

Ahora bien, no es difícil ver que estas transformaciones generan las contribuciones correctas de los campos piónicos a las corrientes.

Gracias, funciona, pero debe haber un signo menos en la ley de transformación axial de $\sigma$ . De todos modos, ¿hay alguna manera de ponerlo en una forma como $Q_a=-i\int d^3x\,\,(\pi_i T^a_{ij} \phi_j)$ , donde aquí $\pi_i=\dot\phi_i$ es el momento conjugado? no puedo entender el $\phi_i$ y el $T^a_{ij}$ , que debe formar una representación de $SU(2)$
@gian_25 La representación matricial es solo la representación fundamental de 4 dimensiones de $SO(4) = SU(2) \times SU(2)$ , que denota los índices del cuadriespacio correspondiente a $(\sigma, \pi_1, \pi_2, \pi_3)$ por $0,1,2,3$ . Entonces $(T^{V}_i)_{jk} = i \epsilon_{ijk}, (T^{(A)}_i)_{jk} = i (\delta_{ji}\delta_{k0}+ \delta_{ki}\delta_{i0})$ . Tenga en cuenta que el conmutador de dos generadores axiales es un generador vectorial.
Ok, creo que todavía falta un menos y $T^{(A)}_i$ se convierten en las mismas matrices que he escrito antes, pero ahora entiendo cuáles son sus conmutadores. ¡Gracias por la respuesta!

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gian_25

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David Bar Moshé

gian_25

David Bar Moshé

gian_25

petra ajolote

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