Simetría de fase global para la teoría de campos escalares complejos

A veces, las declaraciones sobre la corriente de Noether son algo imprecisas en la literatura o en las conferencias. (Aunque no he revisado su literatura).

El procedimiento es el siguiente
1. Su Lagrangiano es invariante bajo una transformación de simetría continua hasta una derivada total . Supongo que en tu caso es

$$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi, \quad\Rightarrow\quad \phi^*\rightarrow e^{-i\alpha}\phi$$ y siendo invariante hasta una derivada total significa (en nuestro caso $k_\epsilon^\mu=0$) $$\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}+\partial_\mu k_\epsilon^\mu$$ 2. Una simetría continua siempre da lugar a una corriente conservada $J^\mu$. Se puede calcular de la siguiente manera

i. Considere transformaciones infinitesimales, es decir, reemplace el parámetro de transformación$\alpha$por$\epsilon\ll1$. Obtenemos

$$\phi\rightarrow e^{i\epsilon}\phi\approx(1+i\epsilon)\phi=\phi+i\epsilon\phi\equiv\phi+\delta\phi\quad\Rightarrow\delta\phi=\epsilon\cdot i\phi$$ Del mismo modo puedes encontrar $\delta\phi^*=-i\epsilon\phi^*$
ii. Use la siguiente fórmula para calcular la corriente conservada. Tenga en cuenta que estamos sumando todos los campos involucrados en nuestro Lagrangiano, es decir $\phi$y $\phi^*$ $$\epsilon J^\mu=\sum_{\text{fields} X}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu X)}\delta_\epsilon X-k_\epsilon^\mu$$ Tenga en cuenta que $k^\mu$es el término que apareció en el transformado $\mathcal{L}$, en nuestro caso $k^\mu=0$.
iii. Como explica Danu, tenemos $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}=\partial^\mu\phi^*$y $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}=\partial^\mu\phi$. Ahora solo tienes que insertarlo en la fórmula anterior, el resultado es $$\epsilon J^\mu=\partial^\mu\phi^*(\epsilon i\phi)+\partial^\mu\phi(-\epsilon i\phi^*)=\epsilon i(\partial^\mu\phi^*\phi-\partial^\mu\phi\phi^*)$$ De este modo $$J^\mu=i(\partial^\mu\phi^*\phi-\partial^\mu\phi\phi^*)$$

Probablemente te estés refiriendo a$\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^*)-m^2\phi^*\phi$. Si reescribes:

$$\mathcal{L}=g^{\mu\nu}(\partial_{\mu}\phi)(\partial_{\nu}\phi^*)-m^2\phi^*\phi$$ todo se vuelve bastante simple. Puedes encontrar dos ecuaciones de movimiento; Calcularé el que resulte de variar con respecto a $\phi$

$$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}$$

$$g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi=\square\phi^*=-m^2\phi^*$$

Por eso,

$$(\square+m^2)\phi^*=0$$

Variando con respecto a$\phi^*$da como resultado

$$(\square+m^2)\phi=0$$

Como cabría esperar de la simetría de la densidad lagrangiana.

Ahora, si está buscando la cantidad conservada que se parece un poco a la expresión que anotó, debe considerar el cambio en$\phi$bajo una transformación de calibre del primer tipo ($\phi\rightarrow e^{-i\Lambda} \phi$) en forma infinitesimal. Esto le dará la cantidad correcta para insertar en la ecuación de la corriente conservada (que se deriva del teorema de Noethers). Ya he hecho todo el trabajo por ti, excepto encontrar$\Psi$.