Noether teorema con semigrupo de simetría en lugar de grupo

Como dice lurscher, los semigrupos no son demasiado interesantes en física. No son realmente "simetrías". Un ejemplo físico importante de un semigrupo en física es el (denominado engañosamente) "Grupo de renormalización" que nos permite derivar leyes efectivas para distancias largas a partir de las de distancias cortas, pero esta "integración" o "flujo" es irreversible, lo que Es exactamente por eso que las operaciones de RG merecen constituir un "semigrupo" en lugar de un "grupo".

Sin embargo, lo que es más importante, está totalmente confundido sobre el caso del observable de Noether llamado "energía".

La energía está asociada con la invariancia traslacional en el tiempo y es una simetría estándar, expresada por un grupo y no "solo un semigrupo". Esta simetría dice que las leyes de la física no cambian si los eventos ocurren$t$segundos más tarde. Además, no cambiaron si ocurrieron los procesos.$t$minutos antes. Las traducciones de tiempo van en ambas direcciones, pueden ser tanto positivas como negativas, y siempre son simetrías.

Esto nada tiene que ver con la irreversibilidad de los procesos o las asimetrías asociadas a la flecha del tiempo.

Sin embargo, en realidad estás equivocado incluso sobre la inversión del tiempo. Incluso la simetría de inversión de tiempo, que es una simetría de las leyes microscópicas de la física (si CP se cumple; o al menos CPT es tal simetría universal) es una simetría, y nuevamente se expresa mediante un$Z_2$grupo. ¡No hay ningún semigrupo no grupal en ninguna parte de esas operaciones relacionadas con el espacio-tiempo!

Volver a por qué los "semigrupos" no son simetrías

En general, los objetos como la acción no pueden ser simétricos en semigrupos que no son grupos. El ejemplo del Grupo de Renormalización muestra claramente lo que sucede si las supuestas transformaciones de simetría fueran irreversibles. La irreversibilidad siempre significa que parte de la información se pierde, por lo que las contribuciones a la acción de los grados de libertad cuya información se pierde inevitablemente se suprimen, por lo que la acción no puede permanecer constante. Si uno "fluye" a largas distancias a través de los flujos del Grupo de Renormalización, en realidad "integra" los grados de libertad de distancia más corta, lo que significa que no pueden excitarse en la nueva teoría efectiva. Entonces, la operación no puede proporcionarnos un mapa uno a uno para todos los estados que, como se explicó en las oraciones anteriores, es necesario para una simetría,

Aquí hay un argumento de por qué "un Teorema de Noether con simetría monoide de Lie" esencialmente no produciría nuevas leyes de conservación. El (primer) teorema de Noether realmente no se trata de grupos de Lie sino solo de álgebras de Lie, es decir, uno solo necesita$n$ simetrías infinitesimales a deducir$n$leyes de conservación. Si a uno sólo le interesa obtener la$n$leyes de conservación una por una (y no tanto interesado en el hecho de que el$n$leyes de conservación juntas forman una representación del álgebra de Lie), entonces uno puede enfocarse en un$1$Subgrupo abeliano bidimensional de simetría. La subálgebra de Lie correspondiente se convierte entonces en$u(1)\cong\mathbb{R}$. Ahora, volviendo a la pregunta, uno puede, por supuesto, truncar artificialmente un grupo de Lie en un monoide de Lie, digamos, si$q$es una variable cíclica para un Lagrangiano$L$, luego declara artificialmente que el monoide de simetría es$q \to q + a$solo para traducciones no negativas$a\geq 0$, mientras niega artificialmente todo lo negativo$a<0$. Por otro lado, se necesita al menos acceder "desde un lado" porque el Teorema de Noether trata sobre la simetría continua . Pero en la práctica, siempre se puede extender, al menos infinitesimalmente, también al "otro lado", y luego se vuelve a un estándar.$u(1)$Álgebra de mentiras y un teorema de Noether estándar.

El principal problema con los semigrupos es que, en general, no son invertibles, por lo que no se aplica bien a la noción de simetría, que es algo que se comporta igual después de realizar una operación que transforma los estados entre sí.