Teorema de Noether: Grupos de Lie vs. Álgebras de Lie; simetrías finitas versus infinitesimales

Revisé brevemente hilos similares sobre este tema para ver si mi pregunta ya había sido respondida, pero no encontré exactamente lo que estaba buscando, tal vez porque me resulta difícil poner palabras. mi pregunta y espero que puedas ayudarme a formularla claramente.

Estoy tratando de vincular lo que sé de matemáticas con lo que estamos escribiendo en física para el teorema de Noether. Si entiendo correctamente, estamos viendo las simetrías de la acción, es decir, bajo qué grupos de simetría es invariante. El teorema de Noether nos permite calcular una corriente conservada en el caso de una simetría continua (grupos de Lie), mediante las llamadas simetrías infinitesimales que creo que son elementos del álgebra de Lie (es decir, el espacio tangente al elemento neutro) de el grupo Mentira.

Supongo que si la acción es invariable bajo la simetría, entonces su "variación" debería ser 0 cuando variamos el sistema (coordenada espacio-tiempo o campo) usando esta simetría; es exactamente este paso el que me gustaría entender mejor, ¿cómo puedo formalizar matemáticamente este paso correctamente? ¿Cómo debo entender esta variación y cómo su cálculo da lugar a los elementos del álgebra de Lie?

Respuestas (1)

  1. El (primer) teorema de Noether realmente no se trata de grupos de Lie sino solo de álgebras de Lie, es decir, uno solo necesita norte simetrías infinitesimales a deducir norte leyes de conservación.

  2. El tercer teorema de Lie garantiza que un álgebra de Lie de dimensión finita se puede exponenciar en un grupo de Lie, cf. por ejemplo , Wikipedia y n-Lab .

  3. Si a uno sólo le interesa obtener la norte leyes de conservación una por una (y no tanto interesado en el hecho de que el norte las leyes de conservación a menudo juntas forman una representación del álgebra de Lie L ), entonces uno puede enfocarse en una subálgebra de mentira abeliana unidimensional tu ( 1 ) ≅ R .

  4. En el contexto de la teoría de campos, debería haber homomorfismos del álgebra de Lie del álgebra de Lie L al álgebra de Lie de campos vectoriales sobre el espacio de configuración de campos (las llamadas transformaciones verticales) y al álgebra de Lie de los campos vectoriales del espacio-tiempo (las llamadas transformaciones horizontales).

  5. Que la acción funcional S [ ϕ ] posee una simetría (cuasisimetría) significa que las derivadas de Lie apropiadas de S wrt. los campos vectoriales anteriores deberían desaparecer (ser un término límite), respectivamente.

  6. Tenga en cuenta que las corrientes y cargas de Noether no siempre forman una representación del álgebra de Lie L . Podrían aparecer, por ejemplo, extensiones centrales, cf. esto y esto Phys.SE publicaciones.

1. Entonces, si elijo como en 3), considerar una subálgebra unidimensional, por lo tanto tengo 1 generador y un parámetro (digamos un ángulo) que puedo diferenciar con respecto a: miraría el cambio del Lagrangiano con respecto al cambio de ángulo, ¿cuál debe ser cero? 2. Otro pensamiento que viene a la mente (probablemente una pregunta fácil), ¿la invariancia con respecto a la transformación "real" (con eso me refiero al elemento del grupo de Lie), implica invariancia frente a la simetría "infinitesimal"?
1. Aparte del tema de Lagrangian vs acción, entonces sí. 2. Sí.
Para la pregunta 2. ¿Cómo puedo ver esto? Tal vez este es el enlace que me falta, ya que los vectores tangentes no son necesariamente elementos del grupo en sí...
1. En primer lugar, debería haber un homomorfismo de grupo de Lie Φ del grupo mentira GRAMO al grupo de difeomorfismos/flujos en el espacio apropiado. 2. En segundo lugar, la acción funcional S debe ser invariante al componer los campos con los flujos anteriores. 3. La derivada Φ ∗ de este mapa se convierte en un álgebra de Lie homomorfismos del álgebra de Lie L al álgebra de Lie de campos vectoriales. 4. Ahora combine estos hechos para demostrar que S debe ser invariante bajo los campos vectoriales correspondientes.
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