El átomo de hidrógeno con hamiltoniano obviamente tiene simetría ya que solo depende del radio.
Esto es generado por el momento angular. .
En la clase de mecánica cuántica aprendemos que hay simetría debida al vector de Runge-Lenz:
Incluso la simetría clásica como la gravedad tiene este tipo de simetría.
Recuerdo haber leído una vez que hay una simetría aún mayor para el átomo de hidrógeno. Posiblemente como en este artículo de Hagen Kleinert.
¿Alguien ha oído hablar de esto?
¿Cómo se puede ver que el átomo de Hidrógeno tiene ¿simetría?
se llama el grupo dinámico completo de Kepler (o problema del átomo de hidrógeno). El , y subgrupos de se denominan grupos dinámicos parciales.
A diferencia de los grupos de simetría que conmutan con el hamiltoniano, los grupos dinámicos no lo hacen. Tienen las siguientes propiedades:
El espacio de fase del sistema es una órbita coadjunta del grupo, o de manera equivalente,
El espacio de Hilbert del sistema está atravesado por una representación irreducible del grupo.
En muchos casos, aunque no es necesario, el propio hamiltoniano es un generador del grupo dinámico.
La equivalencia de los puntos 1. y 2. anteriores se deriva del hecho de que en el caso bajo estudio existe una correspondencia entre órbitas coadjuntas y representaciones irreducibles.
Los grupos dinámicos parciales abarcan solo una parte del espectro del átomo de hidrógeno a través de sus representaciones irreducibles:
Un La representación irreducible abarca los vectores de estado correspondientes a una sola capa de energía de un estado ligado (fijo (y cuantificado) y variando , ) .
Un representación irreducible abarca todo el espectro continuo y una representación irreducible de abarca todo el espectro enlazado.
es el grupo más pequeño cuyas representaciones irreducibles abarcan tanto el espectro continuo como el discreto.
El uso de representaciones de grupos dinámicos reduce el problema de encontrar el espectro hamiltoniano a un problema algebraico, en lugar de una solución de ecuaciones diferenciales.
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