¿Por qué los niveles de energía del hidrógeno degeneran en ℓℓ\ell y mmm?

La degeneración de los niveles de energía se puede atribuir al hecho de que el átomo de hidrógeno posee una mayor$SO(4)$simetría causada por (entre otras cosas) la conservación del operador vectorial de Laplace-Runge-Lenz , consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y Ref. 1.

Referencias:

1. G. 't Hooft, Introduction to Lie Groups in Physics , notas de clase, capítulo 9. El archivo pdf está disponible aquí .

La respuesta más corta y correcta: esta degeneración está determinada por la simetría del sistema.

El caso de degeneración en el átomo de hidrógeno se denomina "degeneración accidental", cuando las funciones propias pertenecientes a diferentes representaciones irreducibles del grupo de simetría de un hamiltoniano corresponden a la misma energía. Este tipo de degeneración también puede ocurrir en sistemas más grandes, por ejemplo, en moléculas. Esta degeneración no puede predecirse únicamente a partir de la consideración estándar de la simetría hamiltoniana. La razón de esta degeneración es la existencia de simetría oculta en el sistema.

Matemáticamente significa que se pueden construir para los sistemas con simetría oculta algunas cantidades conservadas, las llamadas "integrales invariantes", que deben incluirse en la consideración de las propiedades de simetría además de la simetría del hamiltoniano. Y, en principio, es posible resolver la ecuación de Schroedinger de una manera más complicada con la inclusión de estos "invariantes integrales" y obtener una solución, para la cual se incluirán estrictamente estas "degeneraciones accidentales".

En el caso del átomo de hidrógeno, la razón es la invariancia del sistema no solo al grupo de rotación tridimensional 0(3), sino también al grupo de rotación cuatridimensional 0(4): el sistema tiene algo inesperado a primera vista oculto. simetría.

supersimetría

Bueno, para fijo$l$, la degeneración de$m$es debido a la simetría SO(3), solo estamos viendo una representación completa de este grupo.

La gran pregunta es por qué todos los hamiltonianos radiales$H_l$para diferentes momentos angulares tienen el mismo espectro excepto un número discreto de valores propios.

Tenga en cuenta que, en particular, el espectro de la torre para$l$y la torre para$l+1$sólo difieren en un valor propio, el de menor energía. Esta es la configuración típica que se puede leer en la Mecánica cuántica supersimétrica de Witten: un par de hamiltonianos que difieren solo en el estado propio del vacío. Entonces deberías poder construir un generador de supersimetría Q tal que$H_1=QQ^+$es el hamiltoniano radial para el momento angular$l$y$H_2=Q^+Q$es el hamiltoniano radial para el momento angular$l+1$.

SUSY QM es más simple que QFT QM; no contempla Spin; el estado y el supersocio son solo dos niveles en QM hamiltonianos. Es solo un poco más avanzado, matemáticamente, que el método de factorización; aún permite algunos argumentos topológicos sobre la ruptura de susy que se generalizan a la versión QFT, esta fue la idea de Witten al definirlo.

Justo ahora no estoy seguro si esta es la conexión para cada potencial que tiene$l,m$la degeneración existe, o sólo para el caso de Coulomb-Hidrógeno; para empezar, implica que el potencial$V(r)$debe provenir de un superpotencial, por lo que seguramente no es tan trivial de hacer, no clasificar todas las familias de potenciales radiales que permiten hacer este truco. Pero es una idea que ya tiene veinte años, así que seguramente ya está hecha.

Ok, incluso hay una entrada en la wikipedia . Según esto, el superpotencial es

$$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$

Para que los potenciales

$$V_-=W^2-W'= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ y $$V_+=W^2+W'=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ tienen el mismo espectro excepto por el valor propio de energía más bajo del primero, que es cero y no puede aparecer en el segundo (buen resultado topológico).

La ventaja de esta explicación es que puede extenderse a potenciales sin la simetría SO(4) completa ya casos más exóticos en los que el emparejamiento falla para otros valores propios.

PD: Se puede notar que el superpotencial para el problema de Coulomb está a una constante de distancia de$W(r)=1/r$. Un punto interesante es que este superpotencial se puede calibrar para emparejarse con la partícula libre:$V_+(r)=W^2+W'=0$; los superpotenciales que tienen esta propiedad generan los llamados "potenciales transparentes", con propiedades especiales en el desfase. Se puede pensar que generalizan la ecuación radial a espacios simétricos , con$1/r$siendo el caso euclidiano.

conexión con las representaciones de grupo so(4) (¿y el vector de Runge-Lenz?)

Según la última página de esta lección , el papel del vector de Runge-Lenz como supercarga es analíticamente complicado. Pero al menos obtenemos algo de ayuda de la teoría de grupos, si recordamos que so(4) ~ su(2) x su(2) y que so(3) ~ su(2). Entonces, para nuestros propósitos, realmente podríamos escribir

$$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$ La parte rotacional, so(3), nos da la $m$degeneración dentro de una representación del grupo de rotaciones; esto debería existir para cada potencial central. los $su(2)$parte es aquella cuyo operador de escalera permite una interpretación como carga de supersimetría, donde la degeneración no es completa debido a la diferencia en el estado propio de energía más bajo; generalmente desaparece porque $Q |\Omega>$no es normalizable. (Estoy un poco fascinado de que el operador de escalera susy esté relacionado con un SU(2), porque en susy QM esto no es necesario, o al menos no es explícito)

El generador de supersimetría Q (alt.$Q^+$) cuando se aplica a la función propia de un hamiltoniano produce la función propia correspondiente en el socio. Este es el mismo rol que usó el generador de escalera para producir estados dentro de una representación del grupo de simetría, pero en esta vista proviene del emparejamiento susy: si

$$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$ después $$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$

Tenga en cuenta que el emparejamiento falla si$Q\psi$no existe; este es el caso del potencial de vacío, pero recuerdo que J Casahorran hizo un estudio para otros estados propios más allá del vacío (es complicado debido a los resultados de Witten).