¿Qué son los parámetros independientes en el teorema de Hellmann-Feynman?

Un ejemplo típico en los libros de texto sobre la aplicación del teorema de Hellmann-Feynman es calcular ⟨ 1 r 2 ⟩ en átomos similares al hidrógeno. Wikipedia tiene una buena demostración de esto. En algún momento de la derivación de Wikipedia se utiliza que

(1) ∂ norte ∂ ℓ   =   1.

Pero, ¿por qué la ec. (1) cierto? Yo sé eso

norte = norte r + ℓ + 1 ,

pero norte r es solo otra variable con un significado físico diferente, entonces, ¿por qué es norte r independiente de ℓ , mientras norte ¿no es? La prueba de Wikipedia para el teorema de Hellmann-Feynman no aborda el problema de la independencia de diferentes parámetros. Qué variables se mantienen fijas durante la diferenciación ( 1 ) ¿y por qué?

La página de Wikipedia parece tener sólo una vaga noción de ∂ H ^ ∂ λ y ∂ mi ∂ λ , a diferencia de, por ejemplo, la termodinámica, donde todas las derivadas parciales se escriben típicamente como

( ∂ tu ∂ V ) S , ( ∂ tu ∂ V ) pag , …
para que quede claro qué variables se mantienen fijas durante las diferenciaciones.

Respuestas (1)

  1. La aplicación del teorema de Hellmann-Feynman para calcular el valor esperado

    (1) ⟨ norte ℓ metro | r ^ − 2 | norte ℓ metro ⟩
    de un operador radial, por ejemplo r ^ − 2 solo depende de la función de onda radial R norte ℓ ( r ) y no los armónicos esféricos Y ℓ metro ( θ , ϕ ) .

  2. La parte angular del hamiltoniano similar al hidrógeno.

    (2) H ^   :=   1 2 m r 2 { − ℏ 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ∂ r + L ^ 2 } − Z mi 2 r , mi 2   :=   mi 0 2 4 π ε 0 ,
    depende del operador de momento angular L ^ 2 . ahora reemplazamos L ^ 2 con su valor propio ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) . El hamiltoniano resultante
    (3) H ^ ℓ   :=   ℏ 2 2 m r 2 { − ∂ ∂ r r 2 ∂ ∂ r + ℓ ( ℓ + 1 ) } − Z mi 2 r
    depende de la variable radial r pero no las variables angulares ( θ , ϕ ) .

  3. Así podemos pensar formalmente en el espacio

    (4) R 3   =   [ 0 , ∞ [   ×   S 2
    como solo una línea media [ 0 , ∞ [ , donde la variable radial r vidas, como las variables angulares ( θ , ϕ ) se han vuelto irrelevantes para el problema.

  4. Cuando eliminamos las dos esferas S 2 , eliminamos la simetría esférica S O ( 3 ) . Recuerda que el número ℓ tenía que ser un número entero para tener representaciones unitarias de dimensión finita de S O ( 3 ) . Pero en la imagen de media línea radial, el número ℓ ha perdido su significado geométrico, y podemos proceder formalmente con un continuo ℓ ∈ [ 0 , ∞ [ . Esto es necesario para aplicar el método variacional de Hellmann-Feynman.

  5. Pero todavía tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo radial (TISE)

    (5) H ^ ℓ R norte ℓ ( r )   =   mi norte R norte ℓ ( r )
    en esta nueva situación. El resultado es que de verdad ℓ ∈ [ 0 , ∞ [ , aún derivamos una condición de cuantificación, a saber, que los niveles de energía del estado ligado mi norte siguen siendo discretos, y que la variable
    (6) norte r   :=   norte − ℓ − 1   ∈ norte 0
    debe ser un entero no negativo . Aquí el 'número principal' norte ∈ [ 0 , ∞ [ se define para hacer la fórmula de energía estándar para el espectro de energía de estado ligado similar al hidrógeno
    (7) mi norte   =   − Z 2 α 2 m C 2 2 norte 2
    Todavía mantengo la advertencia de que norte podría no ser un número entero! En otras palabras, la ec. (7) es una definición de norte en términos de la energía del estado ligado mi norte .

  6. Así si variamos ℓ , también debemos variar norte por la misma cantidad para mantener norte r un entero

Construiste un hamiltoniano completamente nuevo H ^ yo , y tu punto 5 es mucho cálculo. ¿No es más sencillo usar viejos H ^ solo en estados propios ψ norte yo metro para usar el teorema de Hellmann-Feynman? ¿Wikipedia no hizo eso?
El método no entero en mi respuesta no son muchos cálculos nuevos, en su mayoría son solo identificaciones pertinentes al conocido cálculo de enteros en los libros de texto.
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