¿Cómo se puede ver que el átomo de hidrógeno tiene simetría SO(4)SO(4)SO(4)?

El hamiltoniano para el átomo de hidrógeno

$$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - \frac{k}{r}$$ describe un electrón en un centro $1/r$potencial. Tiene la misma forma que el problema de Kepler y las simetrías son similares. hay una obvia $SO(3)$generado por el momento angular $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$. En otras palabras, los componentes de $\mathbf{L}$satisfacer $$[L_i,L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk}L_k .$$ Una simetría más sutil está dada por el vector de Laplace-Runge-Lenz $$\mathbf{A} = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mathbf{L} \times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{r}}{r}.$$ Las relaciones de conmutación que involucran $\mathbf{L}$y $\mathbf{A}$son $$[L_i,A_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} A_k \\ [A_i,A_j] = -i\hbar\epsilon_{ijk} \frac{2H}{m} L_k .$$ Hasta la normalización de $\mathbf{L}$estas son las relaciones de conmutación de $SO(4)$. (Aquí asumo que estamos considerando un estado ligado cuya energía $E$es negativo Si $E>0$la relación anterior genera un no compacto $SO(3,1)$simetría.)

Además, ambos$\mathbf{L}$y$\mathbf{A}$conmutar con el hamiltoniano,

$$[H,L_i] = 0, \qquad [H,A_i] = 0$$ mostrando que efectivamente generan simetrías del átomo de hidrógeno.

Quería complementar las respuestas anteriores. Para 1)$so(4) = so(3) \times so(3)$, una$so(3)$es de la simetría geométrica 3D del hamiltoniano, y el otro$so(3)$es del término potencial de$\frac{k}{r}$.

Para 2). el segundo$so(3)$la simetría es una simetría dinámica y solo se cumple cuando el término potencial es inversamente proporcional a$r$. Uno tiene que hacer el cálculo para encontrarlo.