¿Por qué la ecuación de Klein-Gordon no permite la conservación de la probabilidad?

Todavía no puedo comentar sobre su pregunta, pero para sacar esto del contenedor "sin respuesta", voy a escribir la prueba proporcionada en el pdf vinculado por @JohnRennie. No estoy seguro de si mis permisos para etiquetar a los usuarios ya están disponibles, pero espero que se le notifique de alguna manera (he intentado etiquetarlo y parece que no funciona).

Entonces, la ecuación de Klein-Gordon con unidades propias se escribe como:

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0$$

Cuando interpretamos las soluciones$\psi(x)$como amplitudes de probabilidad necesitamos tener una densidad de probabilidad,$\rho(x)$, y actual,$\vec{j} (x)$, que satisfacen la ecuación de continuidad (y por supuesto tenemos normalización, etc., etc.)

En este caso definimos:

$$j^0 (x) \equiv c \rho(x)$$ y $$j^\mu (x) \equiv ( j^0 (x), \vec{j} (x) )$$ Y como siempre, la ecuación de continuidad se puede reexpresar como $$\partial_\mu j^\mu (x) =0$$ En un contexto relativista como este tenemos: $$j^\mu \equiv \frac{i \hbar}{2m} \psi^* \overleftrightarrow{\partial^\mu} \psi$$ dónde $A \overleftrightarrow{\partial^\mu} B \equiv A(\partial^\mu B) -(\partial^\mu A) B$. Considerando las cuatro divergencias de esta corriente, $$\partial_\mu j^\mu (x) = \frac{i \hbar}{2m} \partial_\mu \left( \psi^* \overleftrightarrow{\partial^\mu} \psi \right)$$ $$= \frac{i \hbar}{2m} \left[ \psi^* ( \Box \psi ) - ( \Box \psi^* ) \psi \right]$$ para $\psi$que satisface la ecuación de Klein-Gordon, está claro que da cero.

El problema con esto es actual es que la densidad que usamos,$j^0$no es definida positiva.

$$\rho = \frac{1}{c} j^0 = \frac{i \hbar}{2mc} \partial_\mu \left( \psi^* \overleftrightarrow{\partial^0} \psi \right)$$ $$= \frac{i \hbar}{2mc^2} \left[ \psi^* ( \partial_t \psi ) - ( \partial_t \psi^* ) \psi \right]$$ Lo cual claramente no siempre es no negativo.

¡Espero que esto sea útil para cualquiera que encuentre esto más tarde!