¿Cómo predice QFT la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en x?

La amplitud requerida es una superposición entre un estado de partícula localizado y un estado de configuración de campo.

Para el caso de un campo escalar libre, Roman Jackiw en su trabajo sobre Representaciones funcionales para campos cuantificados ha realizado el cálculo de la amplitud exactamente requerida (ecuación 2.14A).

Repetiré aquí algunos detalles de su derivación y reformularé el resultado en una base de estado coherente, que creo que es más susceptible de medición experimental.

En la imagen de Schrödinger, asociamos un vector$|\phi\rangle$en el espacio de Hilbert a cada configuración de campo. Tenga en cuenta que todas las siguientes expresiones son generalizaciones de dimensión infinita del oscilador armónico. (Los siguientes cálculos no son rigurosos, el rigor puede mejorarse ponderando y difuminando, pero esto no se hará aquí).

La acción del operador de campo en el momento$t=0$sobre los vectores de configuración viene dada por:

$$\hat{\Phi}(x)|\phi\rangle = \phi(x)|\phi\rangle$$ ( $x$es un vector en tres dimensiones)

La acción de los momentos canónicos (en$t=0$)es dado por:

$$\hat{\Pi}(x)|\phi\rangle = \frac{\delta}{\delta\phi(x)}|\phi\rangle$$ Para un hamiltoniano cuadrático: $$\hat{H} = \int \mathrm{d}x \, \hat{\Pi}(x)^2 + \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\, \hat{\Phi}(x)\Omega(x,y) \hat{\Phi}(y)$$ ( $\Omega$puede verse como una matriz de masa de dimensión infinita)

El funcional de vacío tiene la forma:

$$\Psi_{\Omega}(\phi) = \langle \phi | \Omega \rangle = \mathrm{det}^{\frac{1}{4}}\left({\frac{\Omega}{\pi}}\right) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\, \Phi(x)\Omega(x,y) \Phi(y)}$$ Esta es una generalización de dimensión infinita de la función de onda de vacío del oscilador armónico.

En infinitas dimensiones, un funcional de onda con diferente matriz de masa será ortogonal al funcional de onda de vacío ya todo su estado excitado, por lo que pertenecerá a otro sector de superselección. Hay ventajas en mantener una matriz de masa general porque en infinitas dimensiones permiten un tratamiento aproximado de campos que interactúan débilmente a través de una transformación de Bogoliubov. Sin embargo, por simplicidad, continuaré con una matriz de masa diagonal:

$$\Omega(x,y) \propto \delta(x-y)$$

(El vacío correspondiente y su funcional de onda se denotarán por:$|0\rangle$y$\Psi_{0}(\phi)$respectivamente). Además, no me molestaré con las infinitas normalizaciones.

En analogía, los operadores de creación y aniquilación de partículas están dados por:

$$A(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\Phi} (x)+ i \hat{\Pi} (x))$$ $$A^{\dagger}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\Phi} (x) - i \hat{\Pi} (x))$$

Por lo tanto, la amplitud requerida viene dada por:

$$\langle \phi | x\rangle = \langle \phi|A^{\dagger}(x)| 0\rangle> = \phi(x) \langle \phi|0\rangle = \phi(x) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \phi(x)^2}$$

La representación de Schrödinger de un estado coherente viene dada por analogía con el oscilador armónico:

$$\Psi_{\alpha}(\phi) = N e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, (\Phi(x) - \sqrt{2}\alpha(x))^2 }$$ y el estado coherente viene dado por:

$$|\alpha\rangle= \int \mathcal{D}\phi \Psi_{\alpha}(\phi) |\phi\rangle$$

(La integración es sobre todas las configuraciones de campo). Es fácil ver eso$|\alpha\rangle$es un estado propio del operador de aniquilación.

Así obtenemos:

$$\langle \alpha| x \rangle = \int \mathcal{D}\phi \Psi_{\alpha}(\phi) \langle \phi | x\rangle = \alpha(x)$$

En sistemas cuánticos descritos por estados coherentes de teorías de campo, la función$\alpha (x)$suele denominarse función de onda macroscópica. La amplitud requerida tiene una expresión muy simple en términos de la función de onda macroscópica.

Interpretación de los resultados

La amplitud solicitada$\langle \phi | x\rangle$en la pregunta hay una superposición entre una configuración de campo$\phi$y un solo estado de partícula. La superposición calculada es proporcional a$\phi(x) e^{-\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \, \phi(x)^2}$. Este resultado, también calculado por Jackiw, tiene sentido, ya que es proporcional a la intensidad del campo en$x$. Sin embargo, esta amplitud será en general pequeña a menos que la configuración$\phi$está en su punto máximo$x$. Por lo tanto, en la práctica, esta amplitud debería ser útil solo cuando el sistema está en un estado agrupado alrededor de$x$, por ejemplo en un estado solitónico. (Si me hubiera ocupado adecuadamente de las normalizaciones, la integral espacial, el módulo cuadrado del resultado, se habría normalizado automáticamente a$1$).

El último cálculo estaba destinado a encontrar la amplitud$\langle \alpha | x\rangle$, en un estado coherente más bien en un estado de Schrödinger. La penúltima ecuación es solo el cambio de base entre la base de estado coherente y la base de Schrödinger. El campo complejo$\alpha$se denomina función de onda macroscópica por la siguiente razón:

En un sistema no relativista descrito por un campo complejo de Schrödinger, el momento canónico es igual al conjugado complejo del campo:$\hat{\Pi}(x)= \hat{\Phi}^{*}(x)$. Ya que debemos tener$[\hat{\Phi}(x), \hat{\Pi}(x')] = \delta(x-x')$, debemos interpretar el campo como el operador de aniquilación y su cantidad de movimiento como el operador de creación (no como en el caso relativista, donde son combinaciones de operadores de creación y de aniquilación). En este caso, el valor esperado del campo en la base de estado coherente será:

$$\langle \alpha| \hat{\Phi}(x) | \alpha \rangle = \langle \alpha| A(x) | \alpha \rangle = \alpha(x)$$ (La identidad $A(x) |\alpha \rangle =\alpha(x)|\alpha \rangle$, válido en la base de estado coherente, fue utilizado).

En sistemas relativistas como la radiación o los plasmas relativistas todavía podemos llamar a la función$\alpha(x)$una función de onda macroscópica aunque el razonamiento anterior no es válido.

La razón por la que les di también el resultado en una base de estado coherente es que cada vez que un sistema distribuido está en un estado coherente (como un condensado de Bose-Einstein); la función de onda macroscópica es una cantidad medible.