Singularidad del producto gratuito

Estudio Producto Libre de Grupos en [Munkres, Topología], y tengo algunas preocupaciones al respecto.

Definición básica

  1. Dejar GRAMO ser un grupo, y dejar { GRAMO α } ser una familia de subgrupos de GRAMO . Entonces el norte − tupla

    ( X α 1 , X α 2 , . . . , X α norte ) ∈ GRAMO α 1 × GRAMO α 2 × . . . × GRAMO α norte
    es una palabra reducida si para todos i , X α i y X α i + 1 pertenecen a diferentes subgrupos GRAMO α y X α j ≠ mi , mi es la identidad en GRAMO , para todos 1 ≤ j ≤ norte .

  2. Dejar GRAMO ser un grupo, y dejar { GRAMO α } ser una familia de subgrupos de GRAMO . Suponer GRAMO α ∩ GRAMO β = { mi } para todos α ≠ β . Entonces GRAMO es un producto libre de  GRAMO α si por cada X hay sólo una palabra reducida que representa  X .

lema Dejar GRAMO ser un grupo y { GRAMO α } ser una familia de grupos. Dejar i α : GRAMO α → GRAMO Sea un homomorfismo de grupo. si cada uno α , i α es inyectable y GRAMO es un producto gratuito de i α ( GRAMO α ) , entonces GRAMO satisface

(*) dado un grupo H y una familia de homomorfismos h α : GRAMO α → H , existe un homomorfismo h : GRAMO → H tal que h ( i α ( X ) ) = h α ( X ) para cada α .

Además, h es único.

(Singularidad del producto gratis) Dejar { GRAMO α } α ∈ j ser una familia de grupos. Suponer GRAMO y GRAMO ′ son grupos y i α : GRAMO α → GRAMO y i α ′ : GRAMO α → GRAMO ′ son familias de monomorfismos, tales que { i α ( GRAMO α ) } y { i α ′ ( GRAMO α ) } genera GRAMO y GRAMO ′ , respectivamente. Si GRAMO y GRAMO ′ tener la propiedad ( ∗ ) , entonces existe un único isomorfismo ϕ : GRAMO → GRAMO ′ tal que ϕ ( i α ( X ) ) = i α ′ ( X ) para todos α .

Supongo que el Teorema debería utilizar el Lema, pero en el Teorema, GRAMO y GRAMO ′ son "generados" por la imagen, pero no el producto libre de la imagen. Además, no estoy seguro de si la parte de singularidad de h en el lema está incluido en ( ∗ ) .

¿Alguna sugerencia para comenzar la demostración? ¿Dónde está el punto importante que el Lema viene a ayudar?

Entonces, ¿está claro el lema y está interesado en la prueba de 'Singularidad de los productos gratuitos'?
Me gustaría probar la propiedad de unicidad, sí. Creo que el contenido del Lema me queda claro, excepto el punto que es la unicidad del homomorfismo. h es parte de ∗ O no. Particularmente, en el teorema de unicidad, dice GRAMO y GRAMO ′ satisfacer ( ∗ ) , ¿incluyen la parte donde h es unico o no?
Sí, singularidad de h es una parte esencial de (*).

Respuestas (1)

El lema trata sobre una propiedad característica del producto libre, y este teorema de unicidad básicamente prueba que esta propiedad es característica, es decir, determina el producto libre hasta el isomorfismo.

En realidad, para la prueba de (esta forma de) el teorema de unicidad, no necesitamos usar el lema. Sin embargo, junto con el lema dan una unicidad similar para la construcción descrita:

Dejar GRAMO α ser subgrupos de un grupo GRAMO ,   GRAMO α ≅ GRAMO α ′ subgrupos de GRAMO ′ , ambos satisfaciendo la definición dada de producto libre , entonces tenemos GRAMO ≅ GRAMO ′ .

En cuanto a la prueba, la propiedad (*) se tiene que aplicar dos veces con H = GRAMO ′ y dos veces con H = GRAMO .

En cuanto al lema, dado h α : GRAMO α → H , para cada X ∈ GRAMO hay una única palabra reducida ⟨ gramo α 1 , … , gramo α norte ⟩ tal que gramo α 1 ⋅ … ⋅ gramo α norte = X en GRAMO , entonces por las restricciones h ( gramo α k ) = h α k ( gramo α k ) ,   h debe satisfacer

h ( X ) = h α 1 ( gramo α 1 ) ⋅ … ⋅ h α norte ( gramo α norte )
Esto prueba la unicidad, y esta fórmula también define h . Solo queda probar que h es un homomorfismo.

me confundo un poco? Entonces, ¿no se necesita el lema para probar el teorema de unicidad?
El Lema se prueba en el libro, pero dice que el teorema de unicidad debe seguirse inmediatamente del Lema. Así que trato de aplicar el Lema para probar el teorema de unicidad. Sin embargo, como mencioné anteriormente, hay una declaración diferente entre el Lema y el Teorema de la Unicidad. Además, este teorema debería referirse a la unicidad del producto libre del grupo, pero su declaración asume solo los grupos GRAMO y GRAMO ′ simplemente son generados por la imagen, lo que significa que podría no ser el producto gratuito de la imagen. Confundo un poco qué conexión entre el Lema y el Teorema.
Tienes que aplicar (*) - incluyendo la singularidad de h - para GRAMO α 's con codominio GRAMO (aquí h = I ′ d GRAMO ), con codominio GRAMO ′ (que da un F : GRAMO → GRAMO ′ ), luego otras dos veces para GRAMO α ′ 's (produciendo un gramo : GRAMO ′ → GRAMO y i d GRAMO ′ ), entonces la unicidad en (*) implica F gramo = i d GRAMO ′ y gramo F = I ′ d GRAMO .
por lo que la singularidad de h en el Lema todavía se mantiene incluso si GRAMO en el Lema es un producto libre, pero en la Teoría, GRAMO y GRAMO ′ ¿Simplemente son generados por la imagen que podría no ser un producto gratuito?
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