¿Cuál es la diferencia entre grupos gratuitos y un producto gratuito?

Estoy encontrando productos libres por primera vez en topología algebraica durante la discusión del teorema de van Kampen, y parece que no puedo distinguir la diferencia entre un producto libre de grupos y un grupo libre. La definición que conozco (de un producto gratuito) es:

Dejar GRAMO , H ser grupos. Definir GRAMO ∗ H ser el conjunto de todas las palabras formales gramo 1 h 1 ⋯ gramo norte h k dónde gramo i ∈ GRAMO y h j ∈ H . Entonces GRAMO ∗ H es un grupo bajo la operación de yuxtaposición, y la identidad es la palabra vacía.

Esta definición se puede extender al producto libre de una colección arbitraria GRAMO α de grupos, pero no veo cómo esta definición es diferente del grupo libre en un conjunto S . Mis conjeturas sobre las diferencias:

  1. Se pueden formar grupos libres con cualquier set S , mientras que los productos libres se definen para colecciones de grupos .
  2. Los productos gratuitos respetan las relaciones entre los grupos. por ejemplo, en GRAMO ∗ H la palabra gramo 1 gramo 2 h 1 es solo gramo 3 h 1 para algunos gramo 3 = gramo 1 gramo 2 ∈ GRAMO . Mientras que no existe una relación subyacente para las palabras en un grupo libre (excepto por la cancelación formal de las palabras).

Y una última pregunta: ¿todos los grupos gratuitos son también productos gratuitos? ¿O es la inclusión en la otra dirección?

Si lo tomas ★ s ∈ S Z , obtienes el grupo gratis en S . El producto gratuito es, en cierto sentido, una generalización. Puede ser útil saber que el "producto gratuito" es en realidad un "coproducto" categórico.
Gracias. Eso tiene mucho sentido. Casi no tengo experiencia en teoría de categorías, así que no estoy muy seguro de lo que eso significa, pero gracias de todos modos.
un grupo libre es un producto libre de cualquier cantidad de factores Z , pero en general un producto libre toma cualquier clase de grupos para construir un nuevo grupo, y además, con respecto a la construcción de Seifert-van Kampen, existe otro producto de grupos: el producto libre amalgamado .
¡Hay un problema de tipos, por lo que su pregunta no tiene mucho sentido! Un grupo libre es un tipo de grupo, mientras que el producto libre de grupos es una operación que dado un montón de grupos, te da un nuevo grupo. ¡La "diferencia" que pides en el título es, entonces, que las dos cosas son bestias completamente diferentes!
@MarianoSuárez-Álvarez Aquí no tenemos que ser tan precisos. Es común decir "producto libre" para (también) significar el grupo obtenido al tomar el producto libre de un conjunto de grupos.

Respuestas (1)

En un grupo libre en un grupo electrógeno, digamos { a , b } cada elemento se puede expresar de forma única como gramo 1 r 1 gramo 2 r 2 ⋯ gramo norte r norte dónde gramo i ∈ { a , b } y gramo i + 1 ≠ gramo i y cada r i ∈ Z . Por ejemplo, a 2 b − 3 a 4 b 2 . Esto no es necesariamente cierto para un producto gratuito. Dejar GRAMO ≅ Z / 2 Z y H ≅ Z / 3 Z . Dejar GRAMO = ⟨ a ⟩ y H = ⟨ b ⟩ . Aquí, a 4 b − 5 = b .

En general, un grupo libre en S es un producto libre de los infinitos grupos cíclicos generados por cada miembro de S . Un producto libre de grupos no es necesariamente un grupo libre.

Entonces, ¿los grupos finitos nunca pueden ser grupos libres?
Si eso es correcto.
@KevinSheng El grupo trivial es gratis, pero aparte de eso, no.
Ah, sí, el grupo libre en un grupo vacío de generadores. Buen punto.
¿Existe un grupo finito, que es un producto libre de dos grupos no triviales?
@TimRaczkowski, ¿Existe un grupo finito, que es un producto gratuito de dos grupos no triviales?
@MANI No (si todavía estás interesado). No es difícil demostrar que el producto libre de dos grupos no triviales es siempre infinito.
¿Cuál es la diferencia entre grupos gratuitos y un producto gratuito?
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