Por el contrario del lema de extensión del producto libre externo --- Munkres Lemma 68.5

Este es el Lema 68.5 en Munkres, que dice lo siguiente

Dejar$\{G_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ser una familia de grupos; dejar$G$ser un grupo; dejar$i_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow G$sea ​​una familia de homomorfismos. Si la siguiente condición de extensión$(*)$sostiene, entonces cada$i_{\alpha}$es un homomorfismo inyectivo y$G$es el producto libre de los grupos$i_{\alpha}(G_{\alpha})$.

$(*)$dado un grupo$H$y una familia de homomorfismos$h_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow H$, existe un homomorfismo$h:G\longrightarrow H$tal que$h\circ i_{\alpha}=h_{\alpha}$para cada$\alpha$.

Para probar esto, necesitamos el siguiente teorema de unicidad:

Dejar$\{G_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ser una familia de grupos. Suponer$G$y$G'$son grupos y$i_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow G$y$i_{\alpha}':G_{\alpha}\longrightarrow G$son familias de homomorfismos inyectivos, tales que las familias$\{i_{\alpha}(G_{\alpha})\}$y$\{i_{\alpha}'(G_{\alpha})\}$generar$G$y$G'$, respectivamente. ahora si los dos$G$y$G'$tienen la propiedad de extensión establecida en el teorema de extensión, entonces hay un isomorfismo único$\phi:G\longrightarrow G'$tal que$\phi\circ i_{\alpha}=i_{\alpha}'$para todos$\alpha$.

Munkres prueba primero que$i_{\alpha}$es un homomorfismo inyectivo para cada$\alpha$, y no tengo ningún problema con eso. Luego trató de demostrar que$G$es el producto libre de los grupos$i_{\alpha}(G_{\alpha})$, como sigue:

existe un grupo$G'$y una familia$i_{\alpha}':G_{\alpha}\longrightarrow G'$de homomorfismos inyectivos tales que$G'$es el producto libre de los grupos$i'_{\alpha}(G_{\alpha})$. Por lo tanto, satisface el teorema de extensión y, por lo tanto, el teorema de unicidad implica que hay un isomorfismo$\phi:G\longrightarrow G'$tal que$\phi\circ i_{\alpha}=i'_{\alpha}$. Entonces se sigue que$G$es el producto libre de los grupos$i_{\alpha}(G_{\alpha})$.

No entiendo muy bien la conclusión aquí, por su argumento, tenemos

$$G\cong G'=\prod_{\alpha\in J}^{*}i'_{\alpha}(G_{\alpha}),$$ así que como máximo tenemos $$G=\prod_{\alpha\in J}^{*}\phi\circ i_{\alpha}(G_{\alpha}),$$ ¿Cómo llegó de aquí a la conclusión de que$G$es el producto libre de$i_{\alpha}(G)$?

¡Gracias!

Edición 1: prueba de isomorfismo que preserva la estructura del producto libre:

Como señaló Lee Mosher , necesitamos verificar si el isomorfismo conserva la estructura del producto libre, para pasar el$\phi^{-1}$desde el exterior el producto libre hacia el interior.

Después de pensarlo un poco, generé una forma posible de mostrar el isomorfismo preservando el producto libre. Además, como dijo Lee Mosher , necesitamos la propiedad de isomorfismo, aunque el homomorfismo es lo suficientemente bueno para preservar la operación. Necesitamos que un mapa sea isomorfismo para preservar la propiedad de la palabra reducida y la$1-1$correspondencia entre la imagen y la preimagen, tal vez.

Para mostrar que el isomorfismo preserva la estructura del producto libre, necesitamos otra forma de realizar el producto libre de grupos. La definición que hemos usado hasta ahora es de Munkres, y afirmó que usar esta definición hará mucho más fácil la vida en la prueba de la existencia de productos libres, ya que verificar las propiedades de los grupos, especialmente la asociatividad, será realmente tedioso e irritante si usa la definición de la que voy a hablar.

Sin embargo, para mostrar la propiedad del grupo que conserva el isomorfismo, necesitamos especificar la propiedad del grupo y los elementos del grupo, en cuyo caso necesitamos la siguiente definición alternativa pero equivalente de producto libre.

[Definición alternativa] Let$W$denota el conjunto de todas las palabras reducidas en los elementos de los grupos$G_{\alpha}$. Entonces piensa en$G$siendo simplemente el conjunto$W$sí mismo, con el producto de dos palabras simplemente obtenido al yuxtaponerlas y reducir el resultado. Así que la operación de grupo es simplemente el producto de los elementos. El elemento de identidad$1$corresponde a la palabra vacía, y cada grupo$G_{\beta}$corresponde al subconjunto de$W$que consiste en el conjunto vacío y todas las palabras de longitud$1$de la forma$(x)$para$x\in G_{\beta}$y$x\neq 1_{\beta}$.

Ahora procedemos a la demostración:

Entonces por cada$x\in G'$, se puede escribir como$x=x_{1}\cdots x_{n}$dónde$x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$y$\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$para todos$i$. Entonces desde$\phi^{-1}$es un homomorfismo, tenemos$\phi^{-1}(x)=\phi^{-1}(x_{1}\cdots x_{n})=\phi^{-1}(x_{1})\cdots\phi^{-1}(x_{n})$. Ahora observe que por la propiedad de$\phi^{-1}$:$i_{\alpha}=\phi^{-1}\circ i_{\alpha}'$, envía cada$x_{i}\in i'_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$de regreso$i_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$, entonces$\phi^{-1}(x)$es un elemento que puede ser presentado por palabras en$\phi^{-1}\circ i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$, a saber$(\phi^{-1}(x_{1}),\cdots,\phi^{-1}(x_{n}))$, dónde$\phi^{-1}(x_{i})\in i_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$para cada$i$, y$\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$para cada$i$. Esas propiedades se conservan desde$\phi$es un isomorfismo.

Lo anterior muestra que

$$\phi^{-1}\Big(\prod_{\alpha\in J}^{*}i_{\alpha}'(G_{\alpha})\Big)\subset \prod_{\alpha\in J}^{*}\phi^{-1}\circ i_{\alpha}'(G_{\alpha}).$$

Por el contrario, por cada$y$en el producto libre de la RHS de la inclusión anterior, se puede escribir como$y=y_{1}y_{2}\cdots y_{m}$dónde$y_{i}\in \phi^{-1}\circ i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$y$\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$para todos$i$. Desde$\phi^{-1}$es un isomorfismo, para cada$y_{i}$, hay un único$x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$tal que$y_{i}=\phi^{-1}(x_{i})$.

De este modo,$y$también se puede escribir como$y=\phi^{-1}(x_{1})\phi^{-1}(x_{2})\cdots\phi^{-1}(x_{m})$, y desde$\phi^{-1}$es un homomorfismo, tenemos$y=\phi^{-1}(x_{1}x_{2}\cdots x_{m})$dónde$x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$y$\alpha_{i}\neq\alpha_{i+1}$.

Esto muestra la inclusión inversa y concluimos la prueba.

Tenga en cuenta que realmente no estoy seguro de si mi prueba es correcta, ya que es un poco confuso aquí ... así que no dude en señalar cualquier error y corregirme si lo desea :) ¡Gracias!