Contexto:
El libro de Griffith sobre Mecánica Cuántica (QM), en la Sección 2.3.1, trata de resolver los estados estacionarios de un oscilador armónico resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE),
usando el método de los operadores de escalera. El método de los operadores de escalera parte de una definición postulada de y (ecuación 2.47):
que luego se demostró que funcionaba en términos de factorizar el hamiltoniano , y por lo tanto se utiliza para subir/bajar la energía en pasos discretos. La discusión llega a un punto crítico en la página 46 y la nota al pie 21, donde se concluye que " podemos construir todos los estados estacionarios " mediante la aplicación repetida de este operador comenzando desde el nivel de energía más bajo (peldaño) en la escalera, , y que tal escalera es única porque dos escaleras con el mismo tamaño de paso ( ) y los primeros peldaños comunes se superpondrán por completo y, por lo tanto, serán idénticos.
Sin embargo, desde un punto de vista lógico de usted, podría haber un pequeño problema para el lector hasta este punto, ya que no se probó (o discutió) que tales operadores ( , ) y su consiguiente escalera (con tamaño de paso) eran los únicos posibles que podían representar el hamiltoniano (es decir, no se discutió la unicidad) y, por lo tanto, uno podría comenzar a imaginar un ejemplo de otro conjunto de posibles operadores que producen pasos de la mitad del tamaño de los discutidos (entonces, , en lugar de ), y producir una escalera diferente, que aún se superpondrá con la escalera original, incluso para el peldaño inferior común ( ), pero con el doble de peldaños. Por extensión, un número infinito de tales escaleras de tamaño de escalón igual a , dónde es entero, podría imaginarse en este sentido, y todavía no estarían en conflicto entre sí. Tal singularidad no se discute rigurosamente.
La cuestión:
Creo que la clave para concluir que solo tenemos una escalera única es:
El punto (1) es fácil de probar: cualquier operador nuevo como , , o de hecho cualquier generalización de la misma ( , , para ), comparten el mismo peldaño inferior con los operadores de escalera originales ( y ). Puedo probar esto rigurosamente como sigue: digamos que tenemos , y deseamos encontrar su estado de peldaño más bajo (llámelo para este caso, para distinguirlo del caso original ), luego lo encontramos poniendo:
lo que prueba que todas esas escaleras definitivamente comparten el mismo peldaño (he usado el hecho de que en la reducción anterior a cero). Pruebas similares se pueden hacer para mayor .
Sin embargo, el punto (2) está resultando más sutil y aborda la posibilidad de construir nuevos operadores que no sean de la forma , , para . Observamos que toda la elección de operadores , como igual a: , dónde , originalmente se basaba simplemente en que producían una derivada de segundo orden ( ) cuando se multiplican juntos, para que coincida con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE). Dado que TISE es de segundo orden, la elección de se hizo para tener cada operador con un operador derivado de primer orden ( ), que es una elección natural. Luego se demostró que su producto es de la forma:
(aquí elegí letra para generalizar la discusión y luego distinguirla del operador original ) que luego se escribe en en la siguiente forma
dónde es una constante. Y esto nos dará más tarde
que luego nos da las conclusiones clave de que la energía salta en pasos como
Ahora sí, claro, si elegimos operadores como antes para ser un orden entero más alto de los operadores originales (como , con ), entonces claramente tendrán peldaños MÁS GRANDES en la escalera, y por lo tanto son los operadores con la resolución de pasos más fina permitida (pequeño paso permitido). Y dado que hemos probado (arriba) que el primer peldaño es compartido por todos esos operadores ( , con ), entonces el original Los operadores son incuestionablemente brillantes y únicos. Pero , ¿y si elegimos operadores que no son de la forma , con ? ¿Qué pasa si elijo derivadas fraccionarias, por ejemplo, como o (que también son operadores formales en el análisis matemático aplicado, por ejemplo, consulte la página wiki ), que cuando se multiplican seguirán dando un segundo orden ( ), y por lo tanto puede factorizar y representar la ecuación TISE? De hecho, su aplicación a este problema puede ser especialmente conveniente porque tenemos la dependencia de la forma , que se presta con relativa facilidad a los operadores de derivadas fraccionarias.
El texto de Griffith no discute si esto es factible o no y, por lo tanto, deja la puerta abierta a la imaginación (o inquietud) del lector sobre la unicidad aquí. Por ejemplo, qué pasa si elegimos decir:
o algunas otras definiciones similares que, al ser multiplicadas, podrían llevarnos (con la ayuda de las identidades de funciones Gamma que generalmente resultan de derivadas fraccionarias) nuevamente a la forma buscada de:
con algo nuevo eso es menos que (eso es ), y por lo tanto producir una nueva escalera con escalones de energía "legales" que son MÁS PEQUEÑOS que (a saber, tamaño del paso de energía ) ?
Cualquier ayuda para resolver esta idea de singularidad sería apreciada.
Su argumento es correcto, por supuesto: no hay garantía de que no habrá muchos más estados que nuestros operadores de escalera no alcancen. La posibilidad más simple es otra escalera equivalente en paralelo, pero también pueden ocurrir estados entre los estados de la escalera.
En el caso del oscilador armónico cuántico, hay argumentos más específicos que puede presentar. Valter Moretti señala aquí que si asumes que el espacio de Hilbert es , sabes que la escalera estándar de estados es suficiente porque da una base completa. Creo que eso descarta su propuesta con derivadas fraccionarias, pero aún puede obtener una escalera oculta si el espacio de Hilbert es realmente más grande, como . Un modelo explícito aquí son dos escaleras paralelas, ambas con espaciado , donde el operador de aumento que hemos dado aumenta en ambos simultáneamente.
Pero desde un punto de vista fenomenológico esto no viene al caso. Por supuesto que hay muchos modelos que puedes usar; la clave es encontrar lo que se ajusta al experimento. Sabemos que una transición entre estados con diferencia de energía libera un fotón de frecuencia . También sabemos que una partícula clásica que oscila con frecuencia emite radiación de frecuencia (y sus armónicos). Eso nos dice que nuestro modelo cuántico necesita espaciamientos de energía de para encajar con el experimento, y no más pequeño.
Por supuesto que puedes postular otros estados y hacer alguna regla que nunca puedan irradiar, pero la navaja de Occam significa que tal modelo es peor. El experimento nos empuja hacia el espacio de Hilbert y el hamiltoniano , donde la escalera está completa.
La factorización del operador (observable) en un producto no conduce necesariamente a operadores de escalera. Supongamos que el operador hamiltoniano, por ejemplo, se escribe como , entonces
Como habrás notado, no sólo y son operadores propios para y, simultáneamente, por el operador numérico , dónde es el operador de números, pero cualquier potencia de ellos. De manera más general, definir el grado de un monomio como
Los operadores se pueden expresar como una función de los operadores de posición y momento o, de manera equivalente, en términos de y : la transformación entre ellos es simplemente un cambio de coordenadas. Como cualquier operador puede escribirse como una función de y y cualquier operador propio para es una suma o proporción de monomios del mismo grado, su punto 2) se puede reformular como: ¿el grado debe ser necesariamente un número entero? La respuesta es no. El operador (si existe), por ejemplo, es un operador propio para :
A estas alturas, deberíamos concluir que se pueden obtener nuevas soluciones para el oscilador armónico simple cuántico mediante la aplicación repetida de un operador como , con un número entero, en el estado fundamental ? No, no deberíamos porque:
Operadores como no podría existir. Por ejemplo, la matriz no tiene raíz cuadrada. De hecho, está bien establecido que el espectro del oscilador armónico simple tiene un espectro único, por lo que no deberían existir operadores con grado no entero.
Incluso si se pueden definir de alguna manera, podrían (y dada la unicidad del espectro, deberían) producir estados que no sean integrables al cuadrado.
He buscado una definición de , pero no pude encontrar uno. El plan era aplicar este operador a una función gaussiana y ver si el resultado satisface la ecuación de Schrödinger.
En conclusión, la unicidad del espectro para el oscilador armónico simple prohíbe la existencia de operadores de grado no entero. No obstante, sería muy instructivo tener una prueba de inexistencia que no recurra al espectro.
Bien, es hora de reunir todo esto en una respuesta.
¿Qué muestra Griffiths en su libro? Resumido, muestra que existe un operador tal que:
El hamiltoniano SHO se puede escribir como
La combinación de estas dos propiedades implica que el hamiltoniano tiene un conjunto de estados propios en escalera. Estos estados propios se definen de la siguiente manera:
Definimos ser un estado satisfactorio .
Definimos
Usando las dos propiedades de anterior, podemos demostrar que cada es un estado propio con energia .
Sabemos que existe al menos UNO de esos , porque Griffiths lo escribe explícitamente en su libro y muestra que obedece a las dos propiedades requeridas. La pregunta es, ¿pueden existir DOS operadores con esta propiedad?
Digamos es un operador, y que obedece a ambas propiedades. es decir, tenemos:
Seguimos el mismo procedimiento que el anterior para desarrollar un nuevo conjunto de estados de escalera con energías . Hay tres casos posibles aquí: o bien , o , o y pero de alguna manera todavía . Necesitamos mostrar que cada una de estas posibilidades es imposible.
Las pruebas serán pruebas por contradicción. En cada caso, seleccionaremos un estado y mostraremos que al actuar sobre el estado con algún operador, podemos construir otro estado con menor energía. Mostraremos que este proceso no termina (no da como resultado el vector cero) sin importar cuántas veces lo hagamos. Por lo tanto, si continuamos lo suficiente, obtenemos estados de energía negativa. Como sabemos que el oscilador armónico simple no tiene estados de energía negativos, llegaremos a una contradicción.
Empecemos con . Sin pérdida de generalidad, suponga . Entonces para algunos , tendremos eso tiene una energía que no se puede escribir como . Entonces, actuando con , podemos generar toda una escalera de estados con energías más bajas. El estado tiene energía . Lo sabemos nunca será igual , porque nunca tiene la misma energía que . Pero desde es el único vector que satisface , eso significa que este proceso nunca puede terminar; cada da un vector distinto de cero en el espacio de Hilbert. Haciendo grande, podemos hacer tener energía negativa. Pero el SHO es estrictamente positivo, por lo que esto es imposible. Concluimos que no podemos tener .
Ahora, supongamos , pero . WLOG, asumir . Entonces tiene energía , mientras tiene energía . En particular, desde es el único estado que satisface , actuando con produce estados de energía arbitrariamente negativa. El estado tiene energía , que puede ser arbitrariamente negativa si elegimos grandes . Por lo tanto, concluimos que no podemos tener .
Finalmente, di y . queremos mostrar que y son esencialmente los mismos.
Conocemos los elementos de la matriz de son dados por
Porque genera la misma escala de energías, y el espectro de no es degenerado, conecta los mismos estados que , hasta fases:
Eso es lo mejor que puede hacer: PUEDE elegir un operador de escalera aleatorio que agregue fases a sus estados a medida que sube y baja la escalera. Pero esa es la única libertad que tienes. Las fases no son realmente importantes para la historia, por lo que debe considerar que los operadores de escalera son esencialmente únicos. En particular, NO PUEDE tener un operador de escalera con un peldaño más bajo diferente (diferente ), y NO PUEDE tener un operador de escalera con un espaciado diferente (diferente ).
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