Sin corriente para una transformación de calibre local para el Lagrangiano de Klein-Gordon

Comentario a la pregunta (v4): OP está hablando de una transformación de fase compleja local para una teoría escalar masiva compleja (KG). Pero una transformación de fase compleja local genérica no es una cuasi-simetría$^1$de la acción KG, y por lo tanto el teorema de Noether (2º) no se aplica.

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$^1$Una transformación infinitesimal$\delta$es una cuasi-simetría si la densidad lagrangiana${\cal L}$se conserva$\delta {\cal L}= d_{\mu} f^{\mu}$módulo una divergencia espacio-tiempo total fuera de la cáscara, cf. esta respuesta Phys.SE. Si la divergencia total del espacio-tiempo$d_{\mu} f^{\mu}$es cero fuera de la cáscara, hablamos de una simetría.

Para una transformación de calibre local$\delta \phi = i \alpha(x)\phi$, y$\delta \phi^*=-i\alpha(x)\phi$.

Estas ecuaciones implican$\delta(\partial_{\mu}\phi)=i(\partial_{\mu} \alpha)\phi+i \alpha (\partial_{\mu}\phi)$y$\delta(\partial_{\mu}\phi^*)=-i(\partial_{\mu} \alpha)\phi^*-i \alpha (\partial_{\mu}\phi^*)$

Por lo tanto,$\delta \mathcal{L}=\delta(\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi^*)-m^2 \delta(\phi* \phi)=\partial_{\mu}\alpha J^{\mu}$, dónde$J^{\mu}=i(\phi \partial^{\mu}\phi^*-\phi^* \partial^{\mu}\phi)$

Configuración$\delta S=\int \delta \mathcal{L}=0$, uno obtiene$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$