Fijación de calibres y grados de libertad.

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Fijación de calibres y grados de libertad.

medir
Física
simetría de calibre
grados de libertad
teoría cuántica de campos

prahar

Hoy, mi amigo (@ Will ) planteó una pregunta muy intrigante:

Considere una teoría de campo escalar compleja con un $U(1)$ campo de medida $(A_\mu, \phi, \phi^*)$ . La idea de la libertad de calibre es que se identifican dos soluciones relacionadas por una transformación de calibre (a diferencia de una transformación global donde las soluciones son diferentes pero dan lugar a exactamente los mismos observables), es decir

(A_{m} (X), ϕ (X), ϕ^{*} (X)) \sim (A_{m} (X) + \partial_{m} α (X), {mi}^{i α (X)} ϕ, {mi}^{- i α (X)} ϕ^{*} (X)) .

$(A_\mu(x), \phi(x), \phi^*(x)) ~\sim~ (A_\mu(x) + \partial_\mu \alpha(x), e^{i \alpha(x)}\phi, e^{-i \alpha(x)}\phi^*(x)).$ El proceso de "fijación de calibre" es elegir una de las muchas soluciones equivalentes relacionadas a través de la transformación de calibre. El procedimiento habitual de fijación de calibre es imponer una condición a

A_{μ}

$A_\mu$ para que uno escoja una de las soluciones. Su pregunta fue la siguiente:

En lugar de imponer una condición de calibre en $A_\mu$ , ¿por qué no imponemos una condición de calibre en $\phi$ ? ¿No seleccionaría esto también una de las muchas soluciones equivalentes? ¿No debería esto también darnos los mismos observables? Si es así, ¿por qué no hacemos esto en la práctica?

Después de un poco de discusión, llegamos a la siguiente conclusión:

La idea de la simetría de calibre proviene del requisito de que una teoría cuántica que involucre campos $(A_\mu, \phi, \phi^*)$ tener una interpretación de partículas en términos de partículas de espín-1 sin masa y 2 partículas de espín-0. Sin embargo, antes de la fijación del calibre, los grados de libertad en el caparazón incluyen los de una partícula de espín 1 sin masa y 3 campos de espín 0 ( $A_\mu \equiv 1 \otimes 0,~\phi,\phi^* \equiv 0$ ). Ahora nos gustaría imponer una condición de calibre para eliminar un grado de libertad escalar. Hay dos maneras de hacer esto -

Imponer condición de calibre en $A_\mu$ de modo que $A_\mu \equiv 1$ . Ahora, $A_\mu$ corresponde a una partícula de espín-1 sin masa y el escalar complejo corresponde a dos partículas de espín-0. Esto es lo que se suele hacer.
Imponer una condición de calibre en $\phi$ . Por ejemplo, se puede exigir que $\phi = \phi^*$ . Ahora tenemos un campo real correspondiente a una partícula de spin-0. Sin embargo, $A_\mu$ todavía contiene los grados de libertad de una partícula sin masa de espín-1 y de espín-0.

Afirmé que el procedimiento de fijación del segundo calibre es completamente EQUIVALENTE al primero. Sin embargo, el operador que ahora crea una partícula de espín 1 sin masa es una combinación desagradable, posiblemente no invariante de Lorentz, de $A_0, A_1, A_2$ y $A_3$ . Una afirmación similar se cumple para el dof de spin-0 en $A_\mu$ . Por lo tanto, los operadores en el espacio de Hilbert correspondientes a las partículas de interés no son agradables. Por lo tanto, no es agradable trabajar con un procedimiento de fijación de calibre de este tipo.

En resumen, ambos procedimientos de fijación de calibres funcionan. El primero es "bonito". El segundo no lo es.

¿Es correcta esta conclusión?

NOTA: Por la declaración $A_\mu \equiv 1$ , Quiero decir que $A_\mu$ contiene solo un dof de espín-1 sin masa

usuario1504

No tiene ningún sentido hablar de partículas masivas o sin masa creadas por

A

$A$ . Tienes que especificar una acción para saber qué irreps de Lorentz ocurren. Sin una acción, solo puedes contar el número de grados de libertad.

usuario1504

Además, desde

A

$A$ y

ϕ

$\phi$ están mezclados por la simetría de calibre, realmente no tiene sentido pensar en sus partículas por separado. Desea considerar observables invariantes de calibre como las líneas de Wilson que conectan

ϕ

$\phi$ y

\bar{ϕ}

$\bar{\phi}$ .

prahar

Definitivamente veo que solo contar los grados de libertad fue demasiado ingenuo. También debería pensar en cómo se transforman bajo la transformación de Lorentz.

Respuestas (1)

Fijación de calibres y grados de libertad.

No tiene ningún sentido hablar de partículas masivas o sin masa creadas por $A$ . Tienes que especificar una acción para saber qué irreps de Lorentz ocurren. Sin una acción, solo puedes contar el número de grados de libertad.
Además, desde $A$ y $\phi$ están mezclados por la simetría de calibre, realmente no tiene sentido pensar en sus partículas por separado. Desea considerar observables invariantes de calibre como las líneas de Wilson que conectan $\phi$ y $\bar{\phi}$ .
Definitivamente veo que solo contar los grados de libertad fue demasiado ingenuo. También debería pensar en cómo se transforman bajo la transformación de Lorentz.

usuario1504 · Answer 1

usuario1504

Si $\phi$ es distinto de cero, fijando la fase de $\phi$ es una condición de calibre perfectamente válida. Se usa con frecuencia en los cálculos del modelo estándar que involucran el campo de Higgs, donde se conoce con el nombre de indicador de unidad . Este es un buen indicador en algunos aspectos, porque pone de manifiesto el hecho de que hay un campo vectorial masivo en el sistema.

Editar: se requiere cierta precaución con el calibre unitario. Es un indicador completo cuando se puede tratar razonablemente $\phi$ como distinto de cero, porque utiliza todos los grados de libertad en la transformación de norma. Esto significa, por ejemplo, que está bien usarlo en cálculos perturbativos alrededor de un condensado de Higgs. Pero cuando $\phi$ puede desaparecer, la función de fase no está definida de forma única, lo que significa que la transformación de calibre no es invertible. Este indicador no es exactamente un indicador.

prahar

Aunque no creo que sea eso de lo que estoy hablando. En ese caso, no estamos arreglando ningún calibre. Estamos rompiendo explícitamente una simetría interna global. Además, en ese caso, un dof del campo de Higgs ahora se convierte en el modo longitudinal de un fotón para transformarlo en un bosón vectorial masivo, cambiando así el contenido de partículas de la teoría. Sin embargo, la "fijación de calibre" de la que estoy hablando no cambia el contenido de partículas de la teoría del campo. Simplemente incorpora un spin-1 sin masa y un dof de spin-0 en uno

A_{μ}

$A_\mu$ .

usuario1504

¿eh? No. El indicador unitario es en realidad un indicador. Es el que describiste en 2, fijando la fase del campo escalar en 0. (Esto usa el valor de dof de una función, mucho más que fijar una simetría global).

prahar

ESTÁ BIEN. Lo siento. Creo que ahora estoy de acuerdo contigo. Aquí está mi comprensión actual: calibre que fija la fase de

ϕ

$\phi$ , naturalmente te da el dof de una partícula masiva de spin-1 y un campo escalar. Entonces, mi pregunta es: ¿podemos descomponer una representación masiva de espín 1 del grupo de Poincaré en una representación de espín 1 sin masa y una representación de espín 0?

prahar

Si es así, entonces, en principio, deberíamos ser capaces de encontrar alguna combinación de los

A_{μ}

$A_\mu$ 's que se transforma como un campo spin-1 sin masa. Entonces tenemos un operador (llámalo

O

$O$ ) que crea un bosón de norma. Entonces la teoría donde

A_{μ}

$A_\mu$ es calibre fijo con

A_{μ}

$A_\mu$ que representa la partícula spin-1 sin masa es EQUIVALENTE a la teoría donde

ϕ

$\phi$ es calibre fijo y

O

$O$ representa la partícula de espín-1 sin masa (por equivalente quiero decir que darán los mismos observables bajo la identificación del operador mencionada anteriormente). ¿Está bien?

usuario1504

Puede descomponer el espacio vectorial subyacente, pero las representaciones no se descompondrán. Sin embargo, el desajuste desaparecerá con la masa.

Fijación de calibres y grados de libertad.

prahar

usuario1504

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usuario1504

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usuario1504

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usuario1504

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