Simetrías globales no abelianas, cargas SO(N)SO(N)SO(N) en términos de operadores de creación y aniquilación

Considere un$SO(N)$teoría simétrica de$N$campos escalares reales,

$$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda (\Phi^a \Phi^a)^2.$$ La carga de Noether es $$Q_{ab} = \int_{\Omega^3} d^3x\,J_{ab}^0,$$ dónde $\Omega^3$es todo espacio. $Q$es constante en el tiempo. podemos expresar $J^0$en términos de $\pi$y $\Phi$como $$J_{ab}^0 = \partial^0 \Phi_a \epsilon_{ab}\Phi_b = \pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b.$$ Definir $$\epsilon^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if }(i, j) = (a, b) \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}\Big\} = -\epsilon^{ji},$$ entonces $\epsilon^{ab} = 1 = -\epsilon^{ba}$y todas las demás entradas son $0$. Entonces la carga de Noether se convierte en $$Q_{ab} = \int d^3x\,J_{ab}^0 = \int d^3x\,\pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b = {1\over2} \int d^3x(\pi_a \Phi_b - \pi_b \Phi_a).$$ Mientras resumía $SO(N)$índices, tomamos un factor de ${1\over2}$ya que la simetría oblicua de $\epsilon$nos hace contar dos veces.

mi pregunta es cuales son los$SO(N)$cargos$Q_{ab}$aquí en términos de operadores bosónicos de creación y aniquilación?