Simple, 3×33×33 \times 3 hamiltoniano con valores propios negativos y ⟨H⟩=0⟨H⟩=0\langle H \rangle=0

tengo el siguiente ejercicio:

Considere un sistema tridimensional cuyo hamiltoniano se describe mediante la siguiente matriz:

[ 0 − i 0 i 0 0 0 0 5 ]
a) ¿ Qué valores son posibles cuando se mide la energía?

b) Un sistema está en el estado inicial

| Ψ ( t 0 ) ⟩ = A [ 1 1 0 ]
Normalizar | Ψ ( t 0 ) ⟩ y encontrar ⟨ H ⟩ .

Entonces, para (a), procedí a determinar los valores propios de H . Encontré (ambos manualmente y luego verifiqué en Mathematica) 1 , − 1 , 5 . Aquí está mi primer problema: ¿ Qué significa tener un valor propio negativo? No había encontrado que eso fuera un gran problema hasta que calculé ⟨ H ⟩ (Nuevamente, verificado con Mathematica).

Obtuve, sorprendentemente, ⟨ H ⟩ = 0 . Tengo dificultades para analizar estos resultados. ¿Cómo puedo tener una energía media que sea igual a 0 ? ¿No significaría esto que no hay energía en absoluto? Conozco los estados ligados y de dispersión, pero ¿no deberían ser continuos los estados de dispersión? También encontré que en algunos casos se decía que los estados ligados tenían energía positiva (oscilador armónico, por ejemplo).

Cualquier

El origen de las energías no es físico. Ergo, ser negativo versus positivo tampoco es físico.
¿Todavía puedo hacer, digamos, una descomposición del estado inicial en términos de los vectores propios de este hamiltoniano y calcular las probabilidades?

Respuestas (1)

Los valores propios pueden ser negativos: todos los valores propios del átomo de hidrógeno son negativos y están dados por mi norte = − 13.6 norte 2 eV.

En cuanto a su problema, los estados propios son (si mi álgebra no está en error)

| 5 ⟩ = ( 0 0 1 ) , | − 1 ⟩ = 1 2 ( i 1 0 ) , | 1 ⟩ = 1 2 ( − i 1 0 )
por lo que su estado inicial es básicamente
| Ψ ( t 0 ) ⟩ = ( 1 − i ) 2 | − 1 ⟩ + ( 1 − i ) 2 | 1 ⟩
por lo que el valor medio será
⟨ H ⟩ = 1 2 ( − 1 ) + 1 2 ( 1 )
es decir, su estado inicial se puede encontrar igualmente probablemente con energía − 1 y con energia + 1 , entonces el promedio es 0 .

Sus estados propios son de hecho correctos. También encontré que el promedio es 0 usando el mismo método que usaste. Gracias.
@VitorCGoergen Por supuesto, también puede calcular directamente A A ∗ ( 1 , 1 , 0 ) ⋅ H ⋅ ( 1 1 0 ) , que por supuesto da el mismo valor medio. El método anterior ilustra mejor por qué obtienes 0 : es el promedio de +1 y -1 con probabilidades iguales.
Simple, 3×33×33 \times 3 hamiltoniano con valores propios negativos y ⟨H⟩=0⟨H⟩=0\langle H \rangle=0
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