Validez de la transformación de Bogoliubov

1) Reemplacemos los índices de momento${\bf k}$y$-{\bf k}$con índices abstractos$1$y$2$, e ignore la suma de momento. El hamiltoniano luego lee

$$\tag{1}H ~=~ \begin{pmatrix}a_1^{\dagger} & a_2\end{pmatrix} M\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

dónde

$$\tag{2} M~:=\begin{pmatrix}A & B\\B^{*} & A \end{pmatrix}~=~M^{\dagger}, \qquad A~\in~ \mathbb{R},\qquad B~\in~ \mathbb{C}.$$

Una transformación de Bogoliubov está en la forma

$$\tag{3} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix} ~=~U \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^\dagger\end{pmatrix}, \qquad U~:=~\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\u_{21} & u_{22}\end{pmatrix}.$$

Debido a que una transformación de Bogoliubov debe preservar las relaciones canónicas del conmutador (CCR), es sencillo verificar que la matriz de transformación$U$debe pertenecer al grupo de Lie

$$\tag{4} U(1,1) ~:=~\{U\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid U^{\dagger}\eta U~=~\eta \},$$

dónde

$$\tag{5} \eta ~:=~\begin{pmatrix}1& 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$ es el $1+1$Métrica dimensional de Minkowski. el grupo de la mentira $U(1,1)$de las transformaciones de Bogoliubov es real y no compacta, y es $4$-dimensional. De hecho, se puede probar que un elemento $U\in U(1,1)$es de la forma

$$\tag{6} U~=~\begin{pmatrix}u & v\\wv^* & wu^*\end{pmatrix},$$

dónde

$$\tag{7}u,v,w~\in~\mathbb{C},\quad |u|^2-|v|^2~=~1 \quad\text{and}\quad |w|~=~1.$$

El hamiltoniano entonces se vuelve de la forma

$$\tag{8} H ~=~ \begin{pmatrix}b_1^{\dagger} & b_2\end{pmatrix} N\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

dónde

$$\tag{9} N~:=~U^{\dagger}MU~=~N^{\dagger}.$$

Teorema I: Tenemos los siguientes dos invariantes bajo transformaciones de Bogoliubov:

$$\tag{10} \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

$$\tag{11} {\rm tr}(\eta N) ~=~{\rm tr}(\eta M)~=~0.$$

Prueba de la ec. (11): Usa eso$\eta N= U^{-1}\eta MU$y$\eta M$están conectados a través de una transformación de semejanza.$\Box$

Corolario Ia:

El nuevo$2\times 2$matriz$N$es de la forma

$$\tag{12} N~:=\begin{pmatrix}A^{\prime} & B^{\prime}\\B^{\prime *} & A^{\prime} \end{pmatrix}~=~N^{\dagger}, \qquad A^{\prime}~\in~ \mathbb{R},\qquad B^{\prime}~\in~ \mathbb{C}.$$

Resulta que la afirmación de OP en la formulación de la pregunta sobre la diagonalizabilidad es correcta, cf. el siguiente Corolario Ib.

Corolario Ib:

(i) El nuevo$2\times 2$matriz$N$solo puede ser diagonal si$|A|>|B|$o$B=0$.

(ii) El nuevo$2\times 2$matriz$N$sólo puede estar fuera de la diagonal si$|A|<|B|$o$A=0$.

(iii) Si$|A|=|B|\neq 0$, entonces el nuevo$2\times 2$matriz$N$no es ni diagonal ni fuera de la diagonal.

Prueba de (i): La matriz diagonal$N$debe satisfacer

$$\tag{13} 0~\leq~ A^{\prime 2} ~=~ \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

Por eso$|A|>|B|$o$|A|=|B|$. En este último caso,$A^{\prime}=0$, entonces$N=0$, y por lo tanto$M=0$, y en particular$B=0$.$\Box$

Las demostraciones de (ii) y (iii) se dejan como ejercicios.

3) A continuación argumentaremos que el caso$A<|B|$no es físicamente relevante, cf. Teorema II.

Teorema II:

(i) El hamiltoniano$H$es definida positiva si$A >|B|$.

(ii) El espectro de$H$es no negativo si$A\geq |B|$.

(iii) El espectro de$H$es ilimitado desde abajo si$A < |B|$.

Se deja como ejercicio una demostración del Teorema II. Se puede establecer una demostración en el nivel clásico reemplazando los operadores$a_1$y$a_2$con las variables complejas clásicas correspondientes, y luego investigue la firma de Hessian para la función hamiltoniana clásica correspondiente.

4) Finalmente, la transformación de Bogoliubov (3) puede formularse en un lenguaje relativista especial. Uno puede ver la matriz$M$, o equivalente$(A,B)$, como un punto en$1+2$espacio dimensional de Minkowski con coordenadas de tiempo$A\in \mathbb{R}$y coordenadas espaciales$B\in \mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$. La longitud invariante de Minkowski

$$\tag{14} \det(M)~=~A^2-|B|^2$$

se conserva bajo la acción

$$\tag{15} \rho:U~\mapsto~ (U^{-1})^{\dagger}MU^{-1}$$

del grupo mentira$U(1,1)$de las transformaciones de Bogoliubov. Por lo tanto$\rho$es un homomorfismo de grupo de Lie

$$\tag{16} \rho: \quad\to\quad O(1,2;\mathbb{R})$$

en el$3$-grupo de Lorentz dimensional$O(1,2;\mathbb{R})$. La condición$|A| >|B|$($|A| < |B|$) es la condición para ser un vector similar al tiempo (similar al espacio), respectivamente. Intuitivamente, la observación de OP sobre la diagonalizabilidad puede entenderse como el hecho de que no se puede convertir un vector espacial en un vector temporal mediante una transformación de Lorentz.