Similar al campo de medida, ¿por qué el lagrangiano de GR no es RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}? ¿Cuál es el significado matemático o físico de RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}?

Para la teoría del campo de calibre, el Lagrangiano del campo de calibre es

L = − 1 4 t r ( F m v F m v ) = − 1 8 F a   m v F a   m v
La fuerza del campo F \a m v a dónde m v es el índice de coordenadas y a es el índice de fibra.

Tan análogo al campo de calibre, R a b C d dónde a b es el índice de fibra y C d es el índice de coordenadas. Y similar al Lagrangiano del campo gauge, el Lagrangiano de la gravedad debería ser R a b C d R a b C d . Aunque en realidad es la acción de Einstein-Hilbert R . Mis preguntas son:

  1. ¿Cuál es el significado matemático o físico de R a b C d R a b C d ?
  2. Por qué el lagrangiano de la gravedad no es R a b C d R a b C d ? Si el lagrangiano de algún campo es R a b C d R a b C d , ¿cuáles son las propiedades físicas de este campo?
Hay más o menos 50 variaciones en el artículo de Wikipedia Alternativas a GR , tal vez encuentre más información sobre por qué se descartan o se descartan. El término aparece, por ejemplo , la gravedad de Lovelock y Gauss-Bonnet (que no parecen vivir en 3+1 dimensiones) y supongo que en F ( R ) variantes.

Respuestas (2)

El Lagrangiano para GR es

L ∝ ∫ R − gramo d 4 X

dónde R es el escalar de Ricci

R = R m m = R m v m v

Entonces, este es un escalar que está relacionado linealmente con todos los componentes del tensor de Riemann, y es un diferencial de segundo orden de la métrica gramo de la forma

R ∼ gramo ∂ 2 gramo + ( ∂ gramo ) 2
Esto es típico para un Lagrangiano. Su propuesta involucra el cuadrado del tensor de Riemann, y también lo es un diferencial de segundo orden no lineal de gramo con términos como ( ∂ gramo ) 4 y ( ∂ 2 gramo ) 2 .

La respuesta concreta es que el Lagrangiano que se muestra arriba conduce a las ecuaciones de Einstein, y su sugerencia no.

No son análogos. R a b C d es simplemente el tensor de Riemann y R a b C d R a b C d es el tensor de Riemann al cuadrado.

  1. Matemáticamente, deben elevarse al cuadrado ya que tener un solo término Tensor de Riemann / Tensor de Ricci en acción gravitatoria no tiene sentido. Físicamente hablando son una modificación de la acción de Einstein Hilbert.

  2. Son curvatura, no campo, no se debe confundir entre los dos. Lo animo a leer la gravedad de Gauss-Bonnet para ver un ejemplo de tales teorías.

Pero tu variable dinámica no es el tensor de Riemann, es el tensor métrico. Y R contiene una gramo a b ∂ 2 gramo a b término, que puede ser integrado por partes a un ∂ C gramo a b ∂ C gramo a b término. Este es el término cinético que desea en una acción.
Similar al campo de medida, ¿por qué el lagrangiano de GR no es RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}? ¿Cuál es el significado matemático o físico de RabcdRabcdRabcdRabcdR_{abcd}R^{abcd}?
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