¿Símbolos de Christoffel y matrices de Dirac similitudes matemáticas?

OK, llegaré a esto un poco más tarde de lo que originalmente pensé que haría, pero espero que esté bien :)

Así que volvamos a la primera ecuación que escribiste, pero reorganízala un poco:

$$\begin{equation} \nabla = \partial + \Gamma \end{equation}$$

Ahora bien, si yo estuviera enseñando un curso de GR de primer año y alguien me mostrara eso, le gritaría porque, por ejemplo,$\nabla \phi =\partial \phi$sin símbolos de Christoffel.

Sin embargo, si estamos dispuestos a ser un poco flexibles con nuestra notación, entonces hay un sentido en el que esa ecuación está bien. Solo tenemos que decir que$\Gamma$no se refiere explícitamente a los símbolos de Christoffel, sino que es una declaración esquemática que dice que hay una pieza de conexión de la derivada covariante que depende de la representación del objeto sobre el que actúa la derivada covariante. Si el objeto es un escalar,$\Gamma=0$. Si el objeto es un vector, obtienes los christoffels normales. Si el objeto es un tensor,$\Gamma$representa la combinación específica de Christoffels apropiada para ese tensor. es como escribir$D_\mu=\partial_\mu+ig A_\mu$para una teoría de Yang Mills, estrictamente hablando, no sabes qué$A_\mu$es hasta que conoces la representación del objeto sobre el que actúa la derivada covariante.

Entonces, con eso en mente, cambiemos al formalismo de Einstein Cartan. En lugar de trabajar con la métrica$g_{\mu\nu}$y conexión asociada$\Gamma^\mu_{\rho\sigma}$como nuestras variables, trabajamos con el vielbein$e^a_\mu$y la "conexión de giro" asociada$\omega^{ab}_\mu$. El vielbein se define por

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{ab} e^a_\mu e^b_\nu \end{equation}$$

y tiene muchas buenas propiedades sobre las que puede leer en otros lugares. El$\mu$índice es el índice de espacio tangente estándar. Ambos$e$y$\omega$son formas de espacio-tiempo, como puede ver. El$a,b$los índices se pueden considerar como índices internos correspondientes a un grupo interno de Lorentz.

El punto principal es que hay un análogo de$\nabla$para objetos con índices de lorentz locales. podemos llamarlo$D$, y podemos escribir una ecuación esquemática similar

$$\begin{equation} D = d + \omega \end{equation}$$

Este formalismo es más útil cuando se trata de formas (es decir, con objetos que pueden tener cualquier número de lorentz locales).$a,b$índices, pero todos cuyos índices de espacio-tiempo$\mu,\nu$son (1) abajo y (2) totalmente antisimétricos), por lo que el$\Gamma$parte de la derivada covariante desaparece. Por lo tanto, usé la derivada exterior$d$en lugar del parcial$\partial$.

Este$D$es una derivada covariante que actúa sobre los índices locales de Lorentz. Si hago una transformación de lorentz local (que como dice en la lata es una simetría local), esta derivada covariante se comporta como un tensor de lorentz local.

Ahora actuando sobre los escalares locales de Lorentz,$\omega=0$. Actuando sobre los vectores locales de Lorentz, puede calcular la expresión adecuada para$\omega$. Solo para mayor claridad, la derivada covariante actúa sobre los vectores de Lorentz como

$$\begin{equation} D_\mu V^a = \partial_\mu V^a + \omega^{ab}_\mu V^a \end{equation}$$ donde tienes que calcular los componentes de $\omega^{ab}_\mu$.

Debe sospechar que debe haber alguna relación entre los componentes de$\omega$actuando sobre un vector de Lorentz, y los componentes de los símbolos habituales de Christoffel que son la conexión relevante para actuar sobre un vector de espacio-tiempo. De hecho, existe tal relación, es

$$\begin{equation} \omega^{ab}_\mu=e_\nu^a \partial_\mu e^{\nu,b} + e_\nu^a e^{\sigma b} \Gamma^\nu_{\sigma\mu} \end{equation}$$ (el $e$con un índice de espacio-tiempo superior $e^\mu$es un vielbein inverso, es decir, la matriz inversa del vielbein original).

Ahora lo bueno de este derivado$D$es que a diferencia de$\nabla$, puede actuar sobre los espinores. El espinor no lleva índice de espacio-tiempo pero tiene 1 índice de Lorentz local que vive en la representación del espinor. En esa representación,

$$\begin{equation} D_\mu \psi = \partial_\mu \psi - \frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu [\gamma^a,\gamma^b]\psi \end{equation}$$ Aquí $\omega^{ab}_\mu$es el mismo $\omega^{ab}_\mu$usado arriba. el factor de $-i/4$depende de las convenciones específicas de la matriz gamma que haya utilizado, simplemente robé esto de wikipedia, por lo que no conozco la convención precisa.

Entonces en la notación esquemática$D=d+\omega$, vemos$\omega^{spinor} = -\frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu[\gamma^a,\gamma^b]$. (Puede ser confuso que$\omega^{spinor}$implica$\omega^{ab}_\mu$, pero ese es el costo de usar notación esquemática / descuidada. El punto es que la pieza de conexión de$D$implica un$\Gamma$-como objeto cuando$D$actúa sobre los vectores de Lorentz locales e implica la$\gamma$matrices que actúan sobre espinores de lorentz locales).

Entonces, ese es al menos un sentido en el que su declaración original es correcta: hay una conexión entre las matrices de Christoffels y Dirac, debido al cálculo de las propiedades de los derivados covariantes. hay un objeto,$\omega$, que en diferentes representaciones se reduce a (1) esencialmente los símbolos de Chrisoffel, o (2) el conmutador de matrices de dirac.