¿Existe alguna restricción para construir la topología del espacio-tiempo a partir del complemento de bolas abiertas?

Supongo que para una variedad lorentziana (es decir, con la firma de Minkowski), el análogo de una bola abierta es el interior de un cono de luz. Mi pregunta está motivada por la observación de que, mientras que cualquier punto en el límite de una bola abierta en una variedad rimanniana (es decir, con firma euclidiana) puede considerarse simultáneamente interior a un número infinito de otras bolas abiertas (y exterior a un número infinito de otros) el límite de un cono de luz está asociado con un intervalo métrico que es distinto de los intervalos de tipo temporal y espacial. Por esa razón, me pregunto si esto introduce sutilezas/restricciones adicionales en la construcción de una topología de espacio-tiempo. Relacionado con esta pregunta está bajo qué circunstancias (si las hay) pueden asociarse puntos individuales con ciertos tipos de intervalos (por ejemplo, espaciales, temporales, nulos).

Las sutilezas de determinar una topología de las variedades de firma de Minkowski son diferentes de las de las variedades de firma euclidiana; en cierto sentido, más sutiles. Reemplazar las bolas por conos de luz seguramente no funcionará. Seguramente uno tiene que aprender cosas como los diagramas causales de Penrose, la completitud geodésica, sorprendentes singularidades de coordenadas que, sin embargo, están bien en otros sistemas de coordenadas, y así sucesivamente. Es todo un tema y no es como decir tres frases para agotarlo por completo.
Topología no métrica. Los conos de luz son métricos. Una variedad tiene una topología incluso cuando no está equipada con ninguna métrica. Dado que la topología es más básica que la métrica, realmente no tiene sentido rehacer la topología en función de la métrica.

Respuestas (1)

Como dice Luboš, no tiene sentido tratar de definir la topología (supongo que aquí está tratando de construir la topología, en su sentido más riguroso, a partir de una base: el conjunto de bolas abiertas) a través de conos de luz. La razón es que para una topología razonable debe tener conjuntos abiertos arbitrariamente pequeños (en algún sentido intuitivo), de modo que declaraciones como "existe un conjunto abierto tal que..." en realidad signifique lo que queremos (es decir, "existe un pequeño conjunto abierto"). suficiente bola abierta tal que"). Los conos de luz no son pequeños en ningún sentido, y su topología no verá la continuidad a la que estamos acostumbrados.

Bueno, se puede decir, olvídense de la intuición, veamos a dónde nos llevan estos conos abiertos.

  • No podemos decir que el interior de los conos de luz plenos, definidos como todos los puntos del espacio-tiempo en una separación temporal de un punto dado, formen una base de la topología. La razón es que una intersección de dos conos de luz abiertos no puede representarse como la unión de una cantidad infinita de conos de luz abiertos.
  • Sin embargo, podemos requerir no solo una separación temporal, sino una separación temporal mayor que algo. O permita solo semiconos de luz positivos. Esto funcionará como base de una topología (al menos la segunda opción), pero en la topología resultante cualquier conjunto abierto contendrá junto con un punto todo el cono de luz positivo derivado de ese punto. Esta topología no es una a la que esté acostumbrado. No es Hausdorff, "pega" pares de puntos conectados casualmente.
  • Otra opción es afirmar que los conos de luz forman una base previa de la topología. Luego, la intersección de dos conos de luz uno encima del otro te da algo muy similar a una bola unitaria. Supongo que en este caso obtendrá la topología de la variedad subyacente. Em, sí, tienes que tener una variedad subyacente para definir una métrica lorenziana y los conos de luz en sí mismos.

Ahora, creo que se debe hacer otra pregunta en este contexto: mientras que una variedad paracompacta siempre admite una métrica riemanniana definida positiva, no existe tal teorema para las métricas pseudo-riemannianas. La razón es que debe pegar curvas temporales de diferentes gráficos de coordenadas de manera sensata. ¿Cuáles son las condiciones para que una variedad admita una métrica pseudo-riemanniana? He encontrado información útil aquí , pero no tengo una respuesta completa.

Ese último párrafo sería una buena pregunta en sí misma, ya sea aquí o en matemáticas.SE.
¿Existe alguna restricción para construir la topología del espacio-tiempo a partir del complemento de bolas abiertas?
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