Simetrización del sistema de dos partículas (fermiónico) sin vs. con espín en la función de onda

Estoy usando el libro de texto de DJ Griffiths Introducción a la mecánica cuántica (3.ª ed.) para mi curso universitario introductorio sobre el tema. En el capítulo 5 (a partir de la sección 5.1.1), analiza el comportamiento de partículas idénticas.

Para empezar, introduce una función de onda espacial elemental para un sistema de dos partículas que no interactúan donde una de ellas está en estado ψ a y el otro esta en estado ψ b :

ψ ( r 1 , r 2 ) = ψ a ( r 1 ) ψ b ( r 2 )

Poco después, introduce cómo las partículas idénticas no se pueden diferenciar, por lo que, debido a que "una de ellas" y "la otra" son físicamente ambiguas, escribimos la función de onda espacial de un sistema de dos partículas como una superposición:

ψ ± ( r 1 , r 2 ) = A ( ψ ( r 1 , r 2 ) ± ψ ( r 2 , r 1 ) )

Él postula que ψ + es la función de onda gobernante para los bosones, y ψ − para fermiones − que hacen, respectivamente, una función de onda espacial simétrica ψ + ( r 1 , r 2 ) = ψ + ( r 2 , r 1 ) , y una función de onda espacial antisimétrica ψ − ( r 1 , r 2 ) = − ψ − ( r 2 , r 1 ) . Por esto, tiene sentido que cuando ψ a = ψ b , los sistemas fermiónicos no tienen una función de onda espacial sensitiva (principio de exclusión de Pauli).

Ahora, como le gusta hacer a Griffiths para simplificar las explicaciones, deja fuera el giro de las funciones de onda. Un párrafo más adelante, muestra cómo se espera que los fermiones estén más alejados entre sí que las partículas distinguibles, y lo contrario para los bosones ("interacción de intercambio"): esto usa solo integrales en el espacio , así que asumo que está bien generalizar el resultado para funciones de onda, incluido el espín. Si he interpretado correctamente su texto más adelante en el capítulo, podemos concluir que tal comportamiento se basa simplemente en funciones de onda espaciales, por lo que llamaré a las partículas que se repelen como fermiones, y de manera equivalente se les puede dar una función de onda espacial combinada ψ − , "espacialmente fermiónico" .

Aquí está el problema. Agrega giro a la discusión de los sistemas de dos electrones como un factor spinor. x ( 1 , 2 ) , y afirma:

es el todo [ ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) ], no solo la parte espacial, que tiene que ser antisimétrica con respecto al intercambio. (...) Así, el principio de Pauli permite dos electrones en un estado de posición dado, siempre que sus espines estén en la configuración singlete.

Esta afirmación me confunde.

  • Por un lado: ¿"no solo" implica que los fermiones aún necesitan ser espacialmente fermiónicos, como se afirmó cuando el espín aún no se incluyó en la discusión, o que solo ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) necesita ser antisimétrico?

  • En segundo lugar: es " ψ ( r 1 , r 2 ) "una función elemental ψ ( r 1 , r 2 ) = ψ a ( r 1 ) ψ b ( r 2 ) , o es una función de onda artificialmente (anti)simetrizada como ψ + ( r 1 , r 2 ) y ψ − ( r 1 , r 2 ) ? Si es lo primero, eso significaría que el factor espacial ψ ( r 1 , r 2 ) en la función de onda combinada para nuestro sistema de dos fermiones ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) no puede en modo alguno ser tratado por igual a los artificialmente (anti)simetrizados ψ ± ( r 1 , r 2 ) . Entonces, si no podemos, y si asumimos que la respuesta a la pregunta 1 es que el sistema también tiene que ser fermiónico espacial, entonces, ¿cómo nos aseguraremos nosotros (o la naturaleza) de que ψ está correctamente (anti)simetrizado?

  • En tercer lugar: desde ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) debe ser antisimétrica, ¿por qué no podemos tomar la configuración triplete de los dos electrones (lo que da una simetría x ( 1 , 2 ) ), y tienen una función de onda espacial antisimétrica ψ ( r 1 , r 2 ) ? ( Este hilo intenta responder, pero no creo que dé un cierre adecuado).

Nota para futuros lectores con respecto a la tercera pregunta:

Después de una discusión en los comentarios de la respuesta aceptada, y de haber estudiado repetidamente la cita anterior en el contexto del capítulo nuevamente, llegué a la interpretación correcta de lo que exactamente Griffiths trató de excluir al escribir "el principio de Pauli permite dos electrones en un estado de posición dado , siempre que sus espines estén en la configuración singlete" .

Su alegato puede formularse de la siguiente manera:

Si Ψ = ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) , entonces no existe ninguna función matemática ψ ( r 1 , r 2 ) eso es intercambio antisimétrico de r 1 y r 2 y usa solo un estado ψ a en lugar de un ψ a y un ψ b (Si tu quieres, ψ a = ψ b ).

En la respuesta aceptada por ZeroTheHero, encontrará la explicación de por qué esto es cierto − la esencia es que la antisimetrización ocurre a través de determinantes en la teoría de grupos de permutación, y que se vuelven 0 cuando cualquier ψ a = ψ b .

La principal consecuencia es, al final, como se dijo al principio: dos fermiones idénticos, por ejemplo, electrones, no pueden ocupar el mismo ψ a = ψ b a menos y sólo a menos que esté en una configuración de espín antisimétrica, es decir, singlete, exactamente porque no existe una función de onda espacial antisimétrica separable que permitiría una configuración de espín simétrica, es decir, triplete.

Además, después de recorrer el capítulo una vez más con esta afirmación en mente, se hizo evidente que mi concepto de "fermionicidad espacial" es de hecho una propiedad separada que pueden tener dos partículas. En la respuesta aceptada, se establece que dos fermiones (por ejemplo, electrones) no necesitan ser espacialmente fermiónicos para que sean fermiones. Sin embargo, el sistema aún puede tener dicha propiedad, o incluso exactamente lo contrario: en el párrafo 5.2.1 sobre los estados excitados del helio, se discute que en el parahelio, los electrones son específicamente "espacialmente bosónicos" (su separación esperada es menor que para distinguibles partículas), haciéndolas interactuar en un rango más cercano en promedio, medible en la energía más alta para tales estados.

Respuestas (3)

La función de onda total debe ser antisimétrica. Así puedes tener:

  1. simétrico en el espacio, antisimétrico en el espín; Por ejemplo

    ∼ ( ψ a ( X 1 ) ψ b ( X 2 ) + ψ a ( X 2 ) ψ b ( X 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

  2. Antisimétrico en el espacio, pero simétrico en el giro; Por ejemplo

    (1) ∼ ( ψ a ( X 1 ) ψ b ( X 2 ) − ψ a ( X 2 ) ψ b ( X 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 + | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

Son meramente ejemplos. Por ejemplo

ψ a ( X 1 ) ψ a ( X 2 ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )
o
( ψ a ( X 1 ) ψ b ( X 2 ) − ψ a ( X 2 ) ψ b ( X 1 ) ) | + ⟩ 1 | + ⟩ 2
también son totalmente antisimétricos. Tenga en cuenta que, en este último ejemplo, el estado de espín | + ⟩ 1 | + ⟩ 2 es un estado del triplete, y claramente simétrico. La parte de espín de (1) es otro componente del triplete, y el estado de espín | − ⟩ 1 | − ⟩ 2 es el último componente. Por lo tanto, todos los miembros del estado triplete son simétricos bajo permutación, lo que implica en este caso que la parte espacial debe ser antisimétrica.

En relación con un comentario:

Para obtener una función de onda completamente antisimétrica para norte partículas, se necesita al menos norte funciones distintas. La razón de esto está arraigada en la teoría del grupo de permutación; en el nivel práctico, estas funciones de onda antisimétricas se construyen como determinantes ya que, en el lenguaje de la teoría de grupos, esta función lleva la representación totalmente antisimétrica del grupo de permutación. En el 3 -caso de las partículas, tendríamos

ψ ( X 1 , X 2 , X 3 ) = | F a ( X 1 ) F a ( X 2 ) F a ( X 3 ) F b ( X 1 ) F b ( X 2 ) F b ( X 3 ) F C ( X 1 ) F C ( X 2 ) F C ( X 3 ) | .
Por propiedades elementales de los determinantes, intercambiando dos columnas, esto equivale a permutar X i ↔ X j introduce un signo menos que garantiza la antisimetría. Si dos funciones son iguales, digamos F b = F a - entonces dos filas son idénticas y el determinante es automáticamente 0 .

Para obtener una función completamente simétrica, se debe usar el permanente , que básicamente se calcula como el determinante pero con signos positivos en todas partes. Uno puede construir tales permanentes usando cualquier número de funciones.

También hay funciones de simetría mixta (ampliamente relacionadas con los inmanentes ), útiles cuando se combinan grados de libertad espaciales y de espín para que el resultado tenga una simetría definida. A continuación, se deben construir utilizando las herramientas del grupo simétrico, como los simetrizadores de Young .

Cómo combinar estas funciones parcialmente simétricas se explica en libros de texto con capítulos sobre el grupo simétrico.

Tenga en cuenta que los estados parcialmente simétricos aparecen solo para 3 o más partículas, básicamente porque el grupo de permutación S 2 solo tiene 1 representaciones irreducibles -dimensionales, mientras que S norte para norte ≥ 3 tiene irreps de dimensión mayor que 1 .

Finalmente, tenga en cuenta que las funciones parcialmente simétricas construidas de esta manera no son las mismas que las funciones de onda de Laughlin utilizadas en las teorías anónicas.

Para futuras referencias, resumiré: 1. el sistema no necesariamente tiene que ser "espacialmente fermiónico" (ver el primer ejemplo), pero debe ser totalmente fermiónico; 2. según los ejemplos, ψ puede ser arbitrario (se permite tanto una superposición como un solo producto), siempre que el total esté antisimetrizado; 3. sí, el estado triplete es posible. Si me permite seguir: 1. ¿Las fuerzas de intercambio (solo probadas en el libro sin espín) aún se mantienen cuando el sistema no es "espacialmente fermiónico"? 2. ¿Por qué Griffiths parece descartar el estado del triplete (seguramente, quiere decir algo )?
@Mew, no tengo ese libro, así que no puedo decirlo.
Bien, para reformular sin hacer referencia al libro (no es esclarecedor de todos modos): 1. Dado lo que hemos establecido, ¿se espera que los electrones estén siempre más separados que las partículas distinguibles ? Solo puedo probar esto para ψ − si pretendo que el giro no existe en las funciones de onda. 2. ¿Está sucediendo algo "espeluznante" con la configuración del triplete, que haría que alguien fuera cauteloso al mencionar que los electrones podrían estar en tal estado?
@Mew eso dependería del estado y del hamiltoniano. Además, ¿en qué sentido estás diciendo “más separados”? ¿Sentido medio? Si es así, ¿promedio de qué?
Sí, "esperado" como en el 1-dimensional ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ , para cual ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ F mi r metro i o norte s = ⟨ ( X 1 − X 2 ) 2 ⟩ d i s t i norte gramo tu i s h − 2 | ∫ − ∞ ∞ X ψ a ( X ) ∗ ψ b ( X ) d X | 2 (el efecto se llama "interacción de intercambio").
Después de algunas semanas, creo que he podido interpretar correctamente la afirmación de Griffiths, lo que nos da la oportunidad de refutarla/confirmarla. Si es así, puedo aceptar su respuesta. Afirma, reformulado: "Si Ψ = ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) , entonces no existe ninguna función matemática ψ ( r 1 , r 2 ) eso es intercambio y usos antisimétricos o norte yo y un estado ψ a en lugar de un ψ a y un ψ b (Si tu quieres, ψ a = ψ b )." Su afirmación es cierta para ψ ± arriba, pero no estoy convencido del caso general. ¿Hay un contraejemplo?
@Mew Esto es correcto. No es posible construir un norte Función de onda espacial (o de espín) antisimétrica de partículas con menos de norte funciones distintas ψ a , ψ b … ψ norte .
Ni siquiera las formas que involucran operaciones matemáticas más complejas (por ejemplo, tomar una pecado ⁡ ( ) , por todo lo que sé)? ¿Hay una prueba por ahí? Voy a agregar lo que escribí en el comentario justo arriba aquí como una edición al final de mi publicación original, porque es extremadamente relevante para mi pregunta, y quizás el núcleo de la misma, así que si pudiera dar más detalles sobre el problema. , ¡eso sería increíble, y remitiré al futuro lector a su respuesta!
@Mew agregó información adicional para ampliar la construcción de funciones de onda totalmente simétricas, antisimétricas o parcialmente simétricas.
Como prometí, mis adiciones también se han hecho. ¡Gracias por los excelentes seguimientos!

Al discutir esta área de la física, tenga en cuenta que son las etiquetas de las partículas idénticas las que se intercambian durante una operación de intercambio. Mantenga esto distinto de la noción de la ubicación de una partícula, por ejemplo.

Para los fermiones, es el estado general, incluidas las partes espacial y de espín, el que tiene que cambiar de signo cuando se intercambia cualquier par de etiquetas.

El estado general a veces se puede escribir como un producto de (parte espacial) y (parte de giro), pero esto no siempre sucede. Sin embargo, tratemos ese caso primero, ya que es el más simple. Supongamos que tenemos un caso que implica estados espaciales A y B por un par de electrones. Asignamos las etiquetas 1 y 2 a los electrones. Entonces uno puede tener cualquiera o todos

1 2 ( A 1 B 2 + A 2 B 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ↑ 1 ↑ 2 ,
1 2 ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ↓ 1 ↓ 2 ,
y también
1 2 A 1 A 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 B 1 B 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) .

Todos los anteriores son casos en los que las partes espacial y de espín se pueden escribir por separado. Pero también hay otras posibilidades, como:

1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − A 2 B 1 ↑ 2 ↓ 1 ) .
Los tratamientos introductorios a menudo no mencionan este caso. Acabo de dar un ejemplo; hay muchos otros Para escribir el suyo propio, simplemente escriba cualquier estado sin prestar atención a la simetría de intercambio, luego coloque un signo menos y luego escriba el estado nuevamente pero con las etiquetas intercambiadas. Finalmente, verifique si de hecho tiene cero porque todo se canceló, y luego, si no es cero, verifique cómo debe normalizarse.

En lo anterior adopté una notación perfectamente lógica, pero si prefieres escribir algo como ψ A ( X 1 ) y ψ B ( X 1 ) en lugar de A 1 y B 1 entonces eso está completamente bien también. Finalmente, la multiplicación (estrictamente hablando, producto tensorial) de funciones de onda o vector de estado es conmutativa, por lo que por ejemplo uno tiene

1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − A 2 B 1 ↑ 2 ↓ 1 ) ≡ 1 2 ( A 1 B 2 ↑ 1 ↓ 2 − B 1 A 2 ↓ 1 ↑ 2 )
La primera versión llama la atención sobre el hecho de que son las etiquetas 1 y 2 que se intercambian, no los estados A y B . Pero la segunda versión suele ser más fácil de leer para un humano. Nótese que en este tipo de estado (llamado enredado, a diferencia de los ejemplos anteriores que son estados producto) es posible decir 'la partícula en estado A tiene su spin up' sin necesidad de decir si uno se refiere a partícula 1 o 2 .

¿Cuál es el beneficio de escribir funciones de onda inseparables o funciones de onda separables? En la mayoría de los materiales que leo, siempre toman combinaciones lineales de funciones de onda inseparables para formar funciones de onda separables como las anteriores. ¿Hay alguna razón en particular para hacer eso?
¿Es la función de onda del estado del producto más fundamental o 'general' que las funciones de onda determinantes de un solo slater que a menudo resultan ser inseparables? Ha escrito que estas funciones de onda determinantes de Slater único se denominan estados entrelazados, ya que la posición y los espines se han entrelazado. Si esto es perfectamente consistente, entonces ¿por qué la mayoría de los materiales los convierten a la fuerza en estados de producto, tomando una combinación lineal?
Cuando hablamos de entrelazamiento, hablamos de dos partículas cuya función de onda total no se puede separar en las funciones de onda de cada partícula. Pero aquí, es la función de onda espacial, la que es inseparable de la función de onda de espín. ¿Cómo se puede llamar a esto estado entrelazado? Aquí la parte espacial es inseparable de la parte giratoria. Normalmente se nos enseña que son las dos partículas cuyas funciones de onda deben ser inseparables. ¿Puedes dar más detalles sobre esto?
@NakshatraGangopadhay Los estados del producto brindan un conjunto completo de estados. Los estados simetrizados (es decir, simétricos y antisimétricos) dan un conjunto completo de estados. Uno expande un estado dado en cualquier base que sea conveniente. Por ejemplo, cuando ya sabe que tiene fermiones indistinguibles, entonces sabe que no necesitará los estados simétricos, por lo que también puede usar una base de estados antisimétricos. Pero luego, para hacer integrales, puede ser útil escribirlas como sumas de estados de productos. ...
@NakshatraGangopadhay Con respecto al "enredo", sí, estoy de acuerdo, hay varias definiciones de diferentes grados de rigor. Por ejemplo, se podría incluir la consideración de si los grados de libertad bajo consideración podrían, en principio, estar separados como un espacio. Una partícula y su espín no pueden separarse como en el espacio, y en este sentido el término "entrelazado" podría cuestionarse. Pero "enredado" también se usa ampliamente como sinónimo de "no expresable como producto" y, en este sentido, puede haber entrelazamiento entre la ubicación y el espín de una partícula.
Entonces, para resumir esto, podemos decir que tanto el estado 'enredado' como el estado del producto pueden considerarse kets básicos, que pueden usarse para escribir un estado dado. En algunas situaciones, es más útil escribirlos en la base enredada. En algunos ejemplos, la base del producto es más útil, ¿es eso cierto? Por ejemplo, al tratar de encontrar el giro total S , debemos escribirlo como el espacio del producto, ya que es un auto-ket de del S 2 , S z operador. En otros casos, la base de estado determinante (inseparable) de Slater podría ser útil. En eso correcto?

Sólo uno ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) debe ser antisimétrica.

Segundo: Porque ψ ( r 1 , r 2 ) x ( 1 , 2 ) necesita ser antisimétrico, si x es simétrico ( x + ), ψ ( r 1 , r 2 ) es la función de onda antisimetrizada ψ ( r 1 , r 2 ) , y si C h i es antisimétrico ( x − ), es la función de onda simetrizada ψ + ( r 1 , r 2 ) . Una función de onda general será una combinación lineal de ambos tipos de cosas

Tercero: Absolutamente sí.

No relacionado, pero hay un hermoso teorema sobre la mecánica cuántica relativista que es el teorema de la estadística de espín https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem

Simetrización del sistema de dos partículas (fermiónico) sin vs. con espín en la función de onda
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