Expansión del producto del operador en Massless 2D QED

En el capítulo 19 de Peskin & Schroeder, página 656, donde se analiza la anomalía de corriente axial de 2D QED sin masa, los autores van desde:

(19.25) ψ ¯ ( X + ε / 2 ) Γ ( X ) ψ ( X − ε / 2 )
(dónde Γ ( X ) es algún operador) a:
(19.27) ψ ¯ ( X + ε / 2 ) Γ ( X ) ψ ( X − ε / 2 )
(donde ahora se contraen los dos campos fermiónicos) para:
(19.27) T r [ Γ ( X ) S F ( ε ) ]
(dónde S F ( X ) es el propagador de fermiones entre un intervalo de espacio-tiempo X )

Realmente no entiendo estas transiciones y agradecería cualquier ayuda sobre cómo hacerlas. En particular:

1) ¿Se entiende implícitamente (desde el principio de esta derivación) que la corriente axial está ordenada en el tiempo (de modo que podemos emplear el teorema de Wick) y siempre suponemos que opera en el vacío (de modo que los términos ordenados normales desaparecen)? ?

2) ¿Por qué la contracción de los dos campos de fermiones sobre el Γ operador conducir a un rastro, como si tuviéramos un bucle?

Observe que la traza es invariable bajo la permutación cíclica, esto debería darle la respuesta a su segunda pregunta.
Comentarios a la pregunta (v1): La primera y segunda ecs. el mismo aspecto. La segunda y tercera ecs. los numeros son iguales ¿Es eso a propósito?
@Qmechanic, gracias por tu comentario. La primera y la segunda ecuación tienen el mismo aspecto porque no sabía cómo denotar la contracción en MathJax, pero escribí con palabras que los campos de fermiones se contraen (de repente) en la segunda ecuación. De hecho, la tercera ecuación tiene el mismo número que la segunda ecuación, en P&S, porque esa ecuación tiene dos signos iguales, pero hay una transición dentro de esa ecuación con el mismo número.
sobre la primera pregunta: hay 3 respuestas equivalentes. a) el operador actual es un operador local definido en un solo punto del espacio-tiempo solamente, por lo que realmente no importa si observa los puntos ordenados por tiempo, independientemente de su procedimiento de regularización. b) el pedido de tiempo sí aparece en la expansión del producto del operador que menciona en el título. Por lo tanto, está bien seleccionar la contribución más divergente tomando contracciones ordenadas en el tiempo. c) todas las funciones de green, ordenadas en el tiempo o no, comparten el mismo comportamiento divergente (ya que la diferencia está en el i ϵ prescripción)

Respuestas (1)

Para su segundo problema, el propagador se puede escribir con sus índices como

( S F ) α β ( X − y ) = ⟨ T { ψ α ( X ) ψ ¯ β ( y ) } ⟩

Entonces nosotros tenemos

⟨ T { ψ ¯ ( X ) Γ ψ ( y ) } ⟩ = Γ α β ⟨ T { ψ ¯ α ( X ) ψ β ( y ) } ⟩ = − Γ α β ( S F ) β α ( X − y ) = − t r [ Γ S F ( X − y ) ]

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