Prueba de funciones de correlación cuántica

Question

Prueba de funciones de correlación cuántica

Física
operadores
evolución del tiempo
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
deberes-y-ejercicios

usuario56963

Estoy leyendo las notas de clase de David Tong sobre QFT.

En las páginas 76-77, da una prueba sobre las funciones de correlación. Vea el siguiente enlace:

Estoy siguiendo los pasos de prueba para obtener la ecuación (3.95). Pero varios pasos intermedios de la demostración no están claros.

Primera pregunta

¿Por qué podemos escribir?

T ϕ_{1 I} \dots ϕ_{norte I} S = {tu}_{I} (+ \infty, t_{1}) ϕ_{1 I} tu (t_{1}, t_{2}) ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} {tu}_{I} (t_{norte}, - \infty) ?

$T\phi_{1I} \dots \phi_{nI}S=U_{I}(+\infty, t_{1})\phi_{1I}U(t_{1},t_{2})\phi_{2I}\dots \phi_{nI}U_{I}(t_{n},-\infty)\ \ ?$

Quiero decir, después de dejar caer el $T$ , no deberíamos tener

= ϕ_{1 I} ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} S

$=\phi_{1I}\phi_{2I}\dots \phi_{nI}S$

= ϕ_{1 I} ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} {tu}_{I} (+ \infty, - \infty) ?

$=\phi_{1I}\phi_{2I}\dots \phi_{nI}U_{I}(+\infty,-\infty)\ \ ?$

Hace $T$ relacionarse con el $\phi_{1}\dots\phi_{n}$ solamente, o al $\phi_{1}\dots \phi_{nI}S$ y

{tu}_{I} (+ \infty, - \infty) = {tu}_{I} (+ \infty, t_{1}) {tu}_{I} (t_{1}, t_{2}) \dots {tu}_{I} (t_{norte}, - \infty) ?

$U_{I}(+\infty,-\infty)=U_{I}(+\infty, t_{1})U_{I}(t_{1},t_{2})\dots U_{I}(t_{n},-\infty)\ \ ?$

Segunda pregunta

¿Cómo convertimos cada uno de los $\phi_{I}$ en $\phi_{H}$ usando

{tu}_{I} (t_{k}, t_{k + 1}) = T mi X pag (- i \int_{t_{k}}^{t_{k + 1}} H_{I})

$U_{I}(t_{k},t_{k+1})=Texp(-i\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}H_{I})$ llegar a

T ϕ_{1 I} \dots ϕ_{norte I} S = {tu}_{I} (+ \infty, t_{0}) ϕ_{1 H} \dots ϕ_{norte H} {tu}_{I} (t_{0}, - \infty) ?

$T\phi_{1I} \dots \phi_{nI}S=U_{I}(+\infty, t_{0})\phi_{1H}\dots \phi_{nH}U_{I}(t_{0},-\infty)\ \ ?$

Tercera pregunta

¿Por qué tenemos

{tu}_{I} (t, - \infty) = tu (t, - \infty) ?

$U_{I}(t, -\infty)=U(t,-\infty)\ \ ?$

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/2041503/11127

Respuestas (1)

Prueba de funciones de correlación cuántica

Coco · Answer 1

Primera pregunta

usando eso $S=U_I(+\infty,-\infty)=U_I(+\infty, t_1)U_I(t_1,t_2)\cdots U_I(t_n,-\infty)$ , como dices, tienes eso

\begin{aligned} T ϕ_{1 I} ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} S & = T ϕ_{1 I} ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} {tu}_{I} (+ \infty, t_{1}) {tu}_{I} (t_{1}, t_{2}) \dots {tu}_{I} (t_{norte}, - \infty) \\ = {tu}_{I} (+ \infty, t_{1}) ϕ_{1 I} {tu}_{I} (t_{1}, t_{2}) ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} {tu}_{I} (t_{norte}, - \infty), \end{aligned}

$\begin{align} T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI}S &= T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI} U_I(+\infty, t_1)U_I(t_1,t_2)\cdots U_I(t_n,-\infty) \\ & = U_I(+\infty, t_1)\phi_{1I}U_I(t_1,t_2)\phi_{2I}\cdots \phi_{nI}U_I(t_n,-\infty), \end{align}$ donde la segunda igualdad viene dada por la definición de ordenamiento temporal.

Segunda pregunta

Elegir los operadores en la imagen de interacción y la imagen de Heisenberg para que sean iguales en algún momento $t_0$ , tenemos eso $\phi_{kI}=U(t_0,t_k)^{-1}\phi_{kH}U_I(t_0,t_k)$ . Sustituyendo en el resultado de la pregunta anterior:

\begin{aligned} T ϕ_{1 I} ϕ_{2 I} \dots ϕ_{norte I} S = & {tu}_{I} (+ \infty, t_{1}) tu (t_{0}, t_{1})^{- 1} ϕ_{1 H} {tu}_{I} (t_{0}, t_{1}) {tu}_{I} (t_{1}, t_{2}) tu (t_{0}, t_{2})^{- 1} \\ ϕ_{2 H} {tu}_{I} (t_{0}, t_{2}) \dots tu (t_{0}, t_{norte})^{- 1} ϕ_{norte H} {tu}_{I} (t_{0}, t_{norte}) {tu}_{I} (t_{norte}, - \infty) \\ = & {tu}_{I} (+ \infty, t_{0}) ϕ_{1 H} ϕ_{2 H} \dots ϕ_{norte H} {tu}_{I} (t_{0}, - \infty) \end{aligned}

$\begin{align} T\phi_{1I}\phi_{2I}\cdots\phi_{nI}S =& U_I(+\infty, t_1)U(t_0,t_1)^{-1}\phi_{1H}U_I(t_0,t_1) U_I(t_1,t_2) U(t_0,t_2)^{-1}\\ & \phi_{2H}U_I(t_0,t_2) \cdots U(t_0,t_n)^{-1}\phi_{nH}U_I(t_0,t_n)U_I(t_n,-\infty) \\ =& U_I(+\infty,t_0)\phi_{1H}\phi_{2H}\cdots\phi_{nH}U_I(t_0,-\infty) \end{align}$

Tercera pregunta

{tu}_{I} (t, - \infty) | 0 ⟩ = tu (t, - \infty) | 0 ⟩

$\begin{equation} U_I(t,-\infty)\left|0\right>=U(t,-\infty)\left|0\right> \end{equation}$ Por definición

| 0 ⟩

$\left|0\right>$ es un vector propio de

H_{0}

$H_0$ con valor propio

0

$0$ , entonces

H_{I} | 0 ⟩ = H_{I} {mi}^{i H_{0} t} | 0 ⟩ = H_{I} {| 0 ⟩}_{I} = i \frac{d}{d t} {| 0 ⟩}_{I} = i \frac{d}{d t} ({mi}^{i H_{0} t} | 0 ⟩) = i \frac{d}{d t} | 0 ⟩ = H | 0 ⟩ .

$\begin{equation} H_I\left|0\right>=H_Ie^{iH_0t}\left|0\right>=H_I\left|0\right>_I= i\frac{d}{dt}\left|0\right>_I= i\frac{d}{dt}\left(e^{iH_0t}\left|0\right>\right)= i\frac{d}{dt}\left|0\right>=H\left|0\right>. \end{equation}$ Por lo tanto, la evolución del tiempo de la imagen de interacción

U_{I} (t, - \infty)

$U_I(t,-\infty)$ (obtenido al exponenciar la integral de

H_{I}

$H_I$ ) y la evolución temporal del cuadro de Schrödinger

U (t, - \infty)

$U(t,-\infty)$ (la exponencial de la integral de

H

$H$ ) son iguales cuando se aplican a

| 0 ⟩

$\left|0\right>$ .

Me gustaría señalar que su primera y segunda ecuaciones no son triviales (a diferencia de lo que parece sugerir). Por un lado, la definición de $T$ para los argumentos de tiempo coincidente tiene muchas sutilezas. Además, no puedes usar $U(t_1,t_2)U(t_2,t_3)=U(t_1,t_3)$ dentro de $T$ símbolo (al menos, no sin la debida justificación mediante el análisis de las diferentes permutaciones, etc.).
Hmm... tal vez estoy siendo demasiado ingenuo aquí. Traté de explicar las ideas en el texto de prueba en la referencia (que dice aún menos). Espero que mi respuesta muestre el camino, pero tal vez debería haber sido mucho más detallado. Creo que agregaré un pequeño párrafo al principio explicando esto.
Lo que escribió es bastante estándar: puede encontrar el mismo tratamiento (en mi humilde opinión, ingenuo) en la mayoría de los libros introductorios sobre QFT. En este sentido, tu publicación está bien en lo que a mí respecta, pero solo quería señalar que, estrictamente hablando, las cosas no son tan simples si uno quiere formalizar la teoría.
Tienes razón. Lo dejaré como está y dejaré que la gente conozca esas sutilezas leyendo tu comentario.
Gracias por tu tiempo. ¿Está discutiendo aquí cómo ordenar el tiempo? $\phi_{1I}U_I(t_1,t_2)$ o $U_I(t_1,t_2)\phi_{1I}$ ?
@VictorVMotti creo que por "la definición de $T$ para los argumentos de tiempo coincidente tiene muchas sutilezas" AccidentalFourierTransform significa ese tipo de problemas. Agitando la mano, diría que los operadores $H_I$ que aparecen en las integrales dentro $U_I(t_1,t_2)$ se evalúan en momentos entre $t_1$ y $t_2$ y por lo tanto deben estar a la derecha de $\phi_{1I}$ .
@Coco. Ya veo, muchas gracias. Por cierto, ¿en qué parte de su respuesta usó la ecuación de Tong como se indica en el texto de mi pregunta? $U_{I}(t_{k},t_{k+1})=Texp(-i\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}H_{I})$ ?

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