Geometría de hipersuperficies nulas

En Wald sección 9.2 página 221 dice que

Dirigimos nuestra atención; ahora, a las congruencias geodésicas nulas. Nuevamente, parametrizamos las geodésicas por un parámetro afín$\lambda$, pero, a diferencia del caso temporal, ahora no tenemos una forma natural de normalizar el campo tangente$K^\alpha$y ajustando así la escala de$\lambda$en diferentes geodésicas. En el caso temporal, restringimos la consideración a los vectores de desviación$\eta^\alpha$ortogonal a$\xi^\alpha$. En realidad, hubo dos razones independientes (aunque relacionadas) para hacerlo. (1) Tenemos$\xi^\alpha \nabla_\alpha (\xi_\beta \eta^\beta)=0$proporcionó$\xi^\alpha \xi_\alpha$se normaliza para que sea constante. De este modo,$\xi_\alpha \eta^\alpha$es constante a lo largo de cada geodésica, y el comportamiento de la parte "no ortogonal" de$\eta^\alpha$no es interesante (2) Vectores de desviación que difieren solo en un múltiplo de$\xi^\alpha$representan un desplazamiento a la misma geodésica cercana. La ortogonalidad fija una "condición de calibre" natural en$\eta^\alpha$.

En el caso de una congruencia geodésica nula, las razones anteriores para restringir la elección del vector de desviación aún se aplican, pero ahora conducen a dos restricciones independientes. Primero, para cualquier vector de desviación$\eta^\alpha$, nuevamente tenemos$k^\alpha \nabla_\alpha (k_\beta \eta^\beta)=0$, entonces$k^\alpha \eta_\alpha$no varía a lo largo de cada geodésica. Esto implica que un vector de desviación arbitrario$\eta^\alpha$puede escribirse como la suma de un vector no ortogonal a$k^\alpha$que se propaga paralelamente a lo largo de la geodésica, más un vector perpendicular a$k^\alpha$.(Tenga en cuenta, sin embargo, que no existe una forma única y natural de descomponer$\eta^\alpha$de esta manera.) Así, el comportamiento de la parte "no ortogonal" de$\eta^\alpha$nuevamente no es interesante, y podemos restringir la consideración a los vectores de desviación que satisfacen$\eta^\alpha k_\alpha=0$. En segundo lugar, los vectores de desviación que difieren solo en un múltiplo de$k^\alpha$representan de nuevo un desplazamiento a la misma geodésica cercana. Por lo tanto, la cantidad físicamente interesante es realmente la clase de equivalencia de vectores de desviación, donde dos vectores de desviación se consideran equivalentes si su diferencia es un múltiplo de$k^\alpha$.Desde$k^\alpha$es nulo y, por lo tanto, es ortogonal a sí mismo, esta segunda restricción es independiente de la primera restricción y reduce la clase de vectores de desviación físicamente interesante a un subespacio bidimensional.

1. No puedo entender la segunda razón en el caso temporal y nulo, es decir, ¿qué quiere decir con los vectores de desviación que difieren en múltiplos de$\xi^\alpha$en el tiempo o$k^\alpha$para el caso nulo representará el desplazamiento a la misma geodésica cercana?

2. ¿Cómo en caso nulo este razonamiento reduce los vectores de desviación a un subespacio bidimensional?