Cantidad conservada a lo largo de geodésicas y métricas

Estoy estudiando Relatividad General sobre el libro de Schutz. En el Capítulo 7 habla de cantidades conservadas a lo largo de las geodésicas, con la ecuación

metro d pag β d λ = 1 2 gramo v α , β pag v pag α
y concluye que “si todos los componentes de la métrica son independientes de X β para algún índice β entonces pag β es una constante a lo largo de la trayectoria de cualquier partícula”.

Por ejemplo, en la conocida métrica de Schwarzschild, pag 0 se conserva ya que la métrica es independiente de t . Pero podría realizar un cambio de coordenadas para hacer que la métrica sea "dependiente del tiempo". ¿Significa esto que este concepto de cantidades conservadas a lo largo de las geodésicas depende de las coordenadas? ¿Hay un marco de referencia preferido en el que se conserva esta cantidad?

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Probablemente estoy confundido sobre el concepto de marco de referencia y sistema de coordenadas. Trataré de indicar la fuente de mi confusión. Schutz dice que, con la métrica de Schwarzschild

d s 2 = − mi 2 Φ ( r ) d t 2 + mi 2 Λ ( r ) d r 2 + r 2 d Ω 2
"dado que la métrica es independiente de t cualquier partícula que sigue una geodésica tiene un componente de momento constante pag 0 ≡ − mi Luego afirma que "un observador inercial local en reposo (momentáneamente) en cualquier radio r del espacio-tiempo mide una energía diferente, a saber mi ∗ = mi mi − Φ ".

¿Qué implica esto? ¿Esto implica que cuando un observador que está en reposo en algún punto del espacio-tiempo mide una cantidad debo usar un sistema de coordenadas localmente Minkowskiano (espacio tangente del punto P del observador en la Variedad) y en ese sistema de coordenadas la métrica es no es independiente del tiempo, ya que ve que esta cantidad cambia según el punto del espacio-tiempo desde el que mide la cantidad? (En efecto, Φ es una función de r ). ¿Algún observador verá alguna vez que esta cantidad se conserva cuando la mide o es solo una construcción matemática?

Observe que si realiza una transformación de coordenadas, entonces el componente pag 0 también cambiaría, y ese componente modificado no se conservaría.
Hay una forma independiente de las coordenadas de enunciar todo esto, y es que obtenemos una cantidad conservada si el espacio-tiempo tiene un vector Killing, definido por la ecuación Killing (independiente de las coordenadas). ¿Hay un marco de referencia preferido en el que se conserva esta cantidad? Como nota al margen, los sistemas de coordenadas no son marcos de referencia, y los marcos de referencia no son sistemas de coordenadas. No tenemos marcos de referencia en GR, excepto localmente.
Gracias por sus comentarios, edité mi pregunta para especificar mejor la fuente de mi confusión.

Respuestas (1)

¿Esto implica que cuando un observador que está en reposo en algún punto del espacio-tiempo mide una cantidad debo usar un sistema de coordenadas localmente minkowskiano (espacio tangente del punto P del observador en la variedad) y en ese sistema de coordenadas la métrica es no es independiente del tiempo, ya que ve que esta cantidad cambia según el punto del espacio-tiempo desde el que mide la cantidad?

No he leído a Schutz, pero al leer su pregunta parece que su presentación de este tema tiene algunas deficiencias, y su confusión puede ser natural dadas esas deficiencias. Él está discutiendo esto en términos de la derivada (no covariante) de la métrica con respecto a una coordenada, lo que inmediatamente crea algunos problemas serios. Esa cantidad simplemente no es medible. Si desea medir la métrica o sus derivados, termina con las siguientes restricciones:

  • Un observador local no puede medir la métrica. (Esto es por la misma razón por la que no se puede medir una energía potencial absoluta. La métrica juega un papel en GR análogo al del potencial en la gravedad newtoniana).

  • Un observador local no puede medir la derivada de la métrica. (Esa derivada sería básicamente el campo gravitatorio, que no se puede medir debido al principio de equivalencia).

  • Un observador local puede medir la segunda derivada de la métrica, que es esencialmente una medida de las tensiones de las mareas.

Entonces, la presentación de Schutz hace uso de un derivado que no tiene interpretación física.

Sí, cada vez que un observador mide una cantidad vectorial (como el vector energía-momento), lo hace implícitamente en algún marco local de Minkowski. (Podrían, por ejemplo, medir el producto interno del vector con algún otro vector, pero luego están usando efectivamente este otro vector como un eje de coordenadas de algún marco de Minkowski).

¿Algún observador verá alguna vez que esta cantidad se conserva cuando la mide o es solo una construcción matemática?

Para verificar esta ley de conservación, el observador necesita tener información global, no solo información local. Básicamente necesitan medir la cantidad. mi ∗ en un marco estático local, luego use su conocimiento global (de la métrica y de su posición en el espacio-tiempo) para determinar mi . Luego pueden verificar que mi se conserva

La incapacidad de determinar tal ley de conservación basada en información puramente local está integrada en la estructura de GR. La energía-momento es un vector, y no puedes comparar vectores en diferentes puntos en el espacio-tiempo excepto por transporte paralelo. Ciertamente puede verificar que el vector energía-momento de una partícula de prueba se conserva bajo transporte paralelo a lo largo de su propia geodésica de movimiento, pero termina con una trivialidad, que es esencialmente que la partícula de prueba tenía el mismo movimiento de caída libre que usted. Esta es solo una prueba del principio de equivalencia, y se mantiene incluso en un espacio-tiempo que no tiene simetría.

Para resolver los problemas de los que está hablando de una manera más satisfactoria que en la presentación de Schutz, realmente necesita usar la noción de un vector Killing.

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