¿Por qué hay un signo menos adicional en las reglas de Feynman para cada bucle fermiónico cerrado?

Es porque un bucle de fermiones con$N$los vértices a lo largo del ciclo corresponden a, hasta factores bosónicos en todas partes (que nunca cambian el signo y en su mayoría conmutan con todo lo demás),

$$D = \langle \psi_1^\dagger \psi_1\cdot \psi_2^\dagger \psi_2 \cdots \psi_N^\dagger \psi_N \rangle$$ donde cada uno de los productos $\psi^\dagger \psi$proviene de un vértice. Tenga en cuenta que los vértices son lo que produce el $\psi$factores porque aparecen en la interacción hamiltoniana. Sin embargo, en las reglas de Feynman, necesitamos volver a visualizar el diagrama para que esté compuesto por propagadores que son factores del tipo $\psi_1\psi_2^\dagger$y así sucesivamente, correspondiendo geométricamente a enlaces entre vértices adyacentes. Podemos hacer que esta forma se manifieste si nos movemos $\psi_1^\dagger$hasta el final: $$D = - \langle \psi_1\psi_2^\dagger\cdot \psi_2 \psi_3^\dagger \cdots \psi_N \psi_1^\dagger\rangle$$ De esta forma, tenemos un producto de $N$buenos factores $\psi_i \psi_{i+1}^\dagger$que pueden atribuirse a los propagadores. Sin embargo, tuve que agregar un signo menos porque necesitábamos permutar el valor de Grassmann $\psi_1$mediante $2N-1$otros operadores fermiónicos y $2N-1$es impar. Por lo tanto, tuve que corregir el signo por $(-1)^{2N-1}=-1$para que ambas expresiones sean iguales.

Fui un poco esquemático, así que no indiqué si usé un formalismo de operador o el enfoque integral de ruta de Feynman. La lógica del signo es la misma en ambas versiones. En el lenguaje integral de trayectoria de Feynman, el$\psi$Los objetos de la demostración anterior son números de Grassmann, no operadores, por lo que son estrictamente anticonmutadores entre sí.