Signo menos en el operador de orden de tiempo

Quizás la forma más fácil de ver que debería haber un factor de signo de Grassmann$(-1)^{|A| |B|}$en la definición de ordenación del tiempo

$$\tag{1} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\} ~:=~ \theta(t_A-t_B) A(t_A) B(t_B) + (-1)^{|A| |B|} \theta(t_B-t_A) B(t_B) A(t_A), \qquad$$

es ir al límite clásico$\hbar\to 0$. Aquí$|A|$denota la paridad de Grassmann, que es$0~{\rm mod}~2$si$A$es un bosón y$1~{\rm mod}~2$si$A$es un fermión. Además,$\theta$es la función escalón de Heaviside . En el límite clásico, todos los campos deberían superconmutar, lo que significa que el superconmutador

$$\tag{2} [A,B]~:=~ AB - (-1)^{|A| |B|}BA~=~0 \qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

debería desaparecer Esto se sigue del principio de correspondencia entre QM y la mecánica clásica:

$$\begin{array}{ccc} \text{Operator} &\longleftrightarrow& \text{Symbol/Super-function}\cr A& \longleftrightarrow& a \cr B& \longleftrightarrow& b \cr [A,B]& \longleftrightarrow&i\hbar \{a,b\}_{PB}+ {\cal O}(\hbar^2)\cr \text{Supercommutator}&\longleftrightarrow& \text{Super-Poisson bracket.}\end{array} \tag{3}$$ En particular, la ordenación temporal no debería importar en el límite clásico. $\hbar\to 0$:

$$\tag{4} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\}~=~A(t_A) B(t_B)~=~(-1)^{|A| |B|}B(t_B)A(t_A).\qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

Pero esto solo será así si incluimos el factor de signo de Grassmann$(-1)^{|A| |B|}$en la definición (1).