Segunda Cuantización: ¿El Operador de Identidad no Conmuta?

Permítanme tomar el ejemplo más simple posible. Considere el espacio de Fock fermónico$\Lambda^*(\mathbb{C}^n)$construido a partir de un espacio de Hilbert de una sola partícula orientado de dimensión finita$\mathbb{C}^n$con orientación

$$[\psi_1,\cdots, \psi_n].$$ El operador de identidad en este Fock-space puede escribirse como $$1= \sum_{j=1}^n c_j^\dagger c_j,$$ dónde $c_j,c_j^\dagger$crear y aniquilar $\psi_j$respectivamente. Por lo tanto,$1$debe viajar con cualquier otro operador . Sin embargo, no lo hace. Llevar $c_i$, Por ejemplo: $$[1,c_i]=\sum_{j=1}^n[c_i,c_j^\dagger c_j]=\sum_{j=1}^n(c_ic_j^\dagger c_j-c_j^\dagger c_jc_i)$$ $$~~~~~~~~~=\sum_{j=1}^n(\delta_{ij}c_j-c_j^\dagger c_ic_j-c_j^\dagger c_jc_i)=\sum_{j=1}^n\delta_{ij}c_j=c_i.$$ ¿Alguien más encuentra esto confuso?