Catástrofe del operador cuántico

Question

Catástrofe del operador cuántico

drcomando

Supongamos que observamos una interacción entre 2 fermiones

$V \sum_{k_i,k_j,k_m,k_n} c_{k_i}^\dagger c_{k_j}^\dagger c_{k_m} c_{k_n} \delta_k$

dónde $\delta_k$ conserva el impulso. Podemos escribir directamente algunos términos de la suma

$... + \underbrace{c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}}_{i=1,j=2,m=3,n=4} + \underbrace{c_{k_2}^\dagger c_{k_1}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}}_{i=2,j=1,m=3,n=4} + ... \ .$

y luego usar las relaciones anticonmutador

$[c_i,c_j]_+ = [c_i^\dagger,c_j^\dagger]_+ = 0$

$[c_i,c_j^\dagger]_+ = c_i c_j^\dagger + c_j^\dagger c_i = \delta_{ij}$

para intercambiar los dos primeros operadores en el segundo sumando ( $c_{k_2}^\dagger c_{k_1}^\dagger = -c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger$ ) tal que

$... + c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} - c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} + ...$

la suma se desvanece. Para términos que no desaparecen como pares como $c_{k_1}^\dagger c_{k_1}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}$ podemos ver que debido al anticonmutador, estos términos se desvanecen individualmente.

Ahora, ¿dónde está el error?

Respuestas (2)

Catástrofe del operador cuántico

Adán · Answer 1

Adán

El error es que los términos de interacción no se corresponden con lo que escribiste, que de hecho es $0=0$ . Olvidaste que en general, $V$ depende de $k_i$ 's, con el signo ad hoc cambia cuando se intercambian sus argumentos. Cuando $V$ se supone que es una constante, uno no suma sobre todos los posibles $k_i$ 's, pero solo un subconjunto (ver, por ejemplo, la interacción BCS).

Por lo general, la interacción también depende de los espines, por lo que incluso si la interacción es simétrica en los momentos, no es necesariamente cero.

drcomando

Estoy de acuerdo,

V

$V$ suele ser una función de

k

$k$ o la diferencia entre

k

$k$ s. Ahora, para la interacción BCS, solo sumamos más de la mitad del conjunto de posibles

k

$k$ ¿valores? Debido a que la interacción BCS para

s

$s$ -onda es un ejemplo donde el potencial de interacción

V

$V$ Creo que se puede suponer que es simétrico hacia el intercambio de momentos, es decir

V (k_{1} - k_{2}) = V (k_{2} - k_{1})

$V(k_1-k_2)=V(k_2-k_1)$ . ¿Significa que cada vez que tenemos un potencial de interacción simétrico tenemos que limitar la suma a un subconjunto?

drcomando

Además creo que físicamente los procesos

c_{k_{1}}^{†} c_{k_{2}}^{†} c_{k_{3}} c_{k_{4}}

$c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}$ y

c_{k_{2}}^{†} c_{k_{1}}^{†} c_{k_{3}} c_{k_{4}}

$c_{k_2}^\dagger c_{k_1}^\dagger c_{k_3} c_{k_4}$ son idénticos y que incluso un

k

$k$ potencial de interacción dependiente

V

$V$ no distinguirá entre estos dos.

Adán

@DrComando: olvidas que la interacción BCS, los fermiones tienen giros opuestos, por lo que el intercambio de

k_{i}

$k_i$ no significa que la suma sea cero. Cambié mi respuesta en consecuencia.

drcomando

Si agrega otro número cuántico como el espín y también suma todas las configuraciones de espín, creo que terminará con el mismo problema. El número total de términos aumenta, pero siempre vienen en pares. En realidad, estoy dispuesto a aceptar su primer punto de un subconjunto reducido. Esta es (1) también mi idea personal y (2) puede ser el equivalente a contar dos veces para estados no fermiónicos. Para fermiones, el doble conteo de estados no da el doble del estado pero da

0

$0$ debido al anticonmutador. Para evitar esto, no podemos simplemente dividir por un número, sino que literalmente tenemos que reducir la suma.

Adán

Creo que solo necesita ver por sí mismo con un ejemplo que no hay problema cuando se tiene en cuenta la dependencia del impulso/giro del potencial de interacción. Por ejemplo, la interacción de Coulomb es

\sum_{s, s^{'}} \int_{x, y} V (| x - y |) ψ_{s}^{†} (x) ψ_{s^{'}}^{†} (y) ψ_{s^{'}} (y) ψ_{s} (x)

$\sum_{s,s'}\int_{x,y} V(|x-y|)\psi_s^\dagger(x)\psi_{s'}^\dagger(y)\psi_{s'}(y)\psi_s(x)$ , y puedes verificar que no hay problema, ni en el espacio real ni en el espacio de cantidad de movimiento.

drcomando

Estoy de acuerdo en que hay muchos ejemplos en los que no hay problemas en la sumatoria. Por lo tanto, mi pregunta es solo sobre el ejemplo que di anteriormente. Es posible que desee ver pares de números de Grassmann u operadores fermiónicos (por ejemplo,

f (k) = c_{k} c_{- k}

$f(k)=c_k c_{-k}$ ) como funciones antisimétricas, como seno. Cada vez que integra el seno en un intervalo simétrico, obtiene cero. Parece que lo mismo ocurre con los pares de creadores o los pares de números de Grassmann. Por supuesto dada una constante

V

$V$ .

Adán

¿Qué podemos hacer? Si su modelo predice que los fermiones no interactúan como deberían, entonces es un mal modelo y debe usar otro.

drcomando

Sí correcto. Efectivamente la descripción matemática tiene que reproducir la física. Evidentemente, la suma de todos

k

$k$ valores hace que la suma desaparezca. Lo que encontré en mi resumen es probablemente las consecuencias del doble conteo de fermiones. Como de costumbre, se debe evitar el conteo doble, pero en lugar de dividir el número de conteos, tenemos que trabajar literalmente en un subconjunto reducido.

Funzies · Answer 2

Como un ejemplo adicional a la respuesta de Adam, considere la acción para la transición normal superfluida en el helio-4 líquido:

F = \int d X (\frac{ℏ^{2}}{2 metro} | \nabla ϕ (X) |^{2} - m | ϕ (X) |^{2} + \frac{V_{0}}{2} | ϕ (X) |^{4})

$F = \int dx \left( \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi(x)|^2 - \mu |\phi(x)|^2 + \frac{V_0}{2}|\phi(x)|^4 \right)$ Fourier transformando el último término de interacción (que por cierto proviene de asumir un potencial de contacto

V (x, x^{'}) = V_{0} δ (x - x^{'})

$V(x,x') = V_0\delta(x-x')$ ) produce:

\frac{V_{0}}{2 V} \sum_{k, k, k^{'}} ϕ_{k - k}^{*} ϕ_{k}^{*} ϕ_{k - k^{'}} ϕ_{k^{'}},

$\frac{V_0}{2V}\sum_{K,k,k'}\phi^*_{K-k}\phi^*_{k}\phi_{K-k'}\phi_{k'},$ que obviamente no se desvanece.

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Funzies

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