Segunda cuantificación: ¿los operadores de fermiones en diferentes sitios TIENEN que anticonmutar?

En la segunda cuantización, asumimos que tenemos operadores de fermiones a i que satisfacen { a i , a j } = 0 , { a i , a j † } = d i j , { a i † , a j † } = 0 . Otra forma de decir esto es que

a i † | norte 1 , . . . , norte i , . . . , norte norte ⟩ = { ( − 1 ) ∑ j < i norte j | norte 1 , . . . , norte i + 1 , . . . , norte norte ⟩ norte i = 0 0 norte i = 1 |

a i | norte 1 , . . . , norte i , . . . , norte norte ⟩ = { ( − 1 ) ∑ j < i norte j | norte 1 , . . . , norte i − 1 , . . . , norte norte ⟩ norte i = 1 0 norte i = 0 |
de donde se pueden derivar las relaciones anteriores.

Entiendo por qué los operadores en los mismos sitios tienen que obedecer las relaciones anticonmutación, ya que de lo contrario se violaría la exclusión de Pauli. Sin embargo , no estoy seguro de entender por qué los operadores en diferentes sitios tienen que evitar el trabajo.

¿Por qué no podemos tener un álgebra de operadores fermiónicos que obedezcan relaciones de anticonmutación para i = j , y por lo demás obedeciendo las relaciones [ a i ( † ) , a j ( † ) ] = 0 ? Podríamos definir los operadores por

a i † | norte 1 , . . . , norte i , . . . , norte norte ⟩ = { | norte 1 , . . . , norte i + 1 , . . . , norte norte ⟩ norte i = 0 0 norte i = 1 |

a i | norte 1 , . . . , norte i , . . . , norte norte ⟩ = { | norte 1 , . . . , norte i − 1 , . . . , norte norte ⟩ norte i = 1 0 norte i = 0 |
sin el signo delante del ket, del que se pueden derivar las nuevas relaciones de conmutación/anticonmutación. ¿Es esto de alguna manera ilegal? ¿Los operadores que he definido no están realmente bien definidos? ¿Hay alguna forma de usar la definición que di para obtener una contradicción? ¿O simplemente asumimos que los operadores de fermiones son anticonmutadores por conveniencia de notación?

Hasta ahora, todos los libros/pdf que he visto demuestran que las relaciones de anticonmutación se mantienen para los operadores de fermiones en el mismo sitio y luego asumen que las relaciones de anticonmutación se mantienen en diferentes sitios.

Creo que, desde el punto de vista operativo, parece un operador de transformación de Jordan-Wigner, solo que sin la "cadena". Así que supongo que esto podría estar relacionado con la pregunta: ¿qué sale mal si olvidamos la cadena en una transformación de Jordan-Wigner?

Respuestas (3)

En el mero nivel de "segunda cuantización", no hay nada de malo en que los operadores fermiónicos se conmuten con otros operadores fermiónicos. No "saben" que son operadores para "el mismo fermión" en diferentes sitios, por lo que también podrían viajar.

Pero la razón más profunda por la que los operadores fermiónicos en diferentes sitios son anticonmutadores es que son solo modos del mismo campo fermiónico en el QFT subyacente, y los modos de un campo espinor son anticonmutadores porque los campos en sí mismos son anticonmutadores, y esta relación es heredada por sus modos .

El mismo argumento esencialmente en otra frase dice que los estados fermiónicos deben ser antisimétricos bajo el intercambio de fermiones idénticos . Este es un postulado de QM/"segunda cuantización" y se convierte en una declaración derivada solo en QFT como el teorema de la estadística de espín . Así que debes tener ese intercambio i ↔ j incurre en un menos en el estado que tiene una excitación fermiónica en i y otro en j - y esto corresponde precisamente a a i † y a j † anticonmutación

Es equivalente a pedir a los operadores en diferentes sitios conmutar o anticonmutar. Es decir, siempre hay una llamada transformación de Klein que cambia la conmutación entre diferentes sitios. Si son anticonmutantes se dice que tienen relaciones naturales de conmutación.

Los teóricos de la materia condensada estudian a menudo las relaciones mixtas (anti) de conmutación que usted propone. Pero no se llaman fermiones, sino "bosones de núcleo duro" para reflejar el hecho de que se desplazan en diferentes sitios y muestran una física diferente a la de los fermiones ordinarios.

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