Confusión sobre los operadores de escalera

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Confusión sobre los operadores de escalera

Física
operadores
conmutador
espacio de hilbert
mecánica cuántica
segunda cuantización

lemi1305

Consideremos un sistema, que consiste en $N$ partículas bosónicas, que no interactúan entre sí. El hamiltoniano de este sistema se daría como

H = \sum_{i = 1}^{norte} \frac{ℏ^{2}}{2 metro} {\hat{pag}}_{i}^{2} .

$H = \sum_{i=1}^N \frac{\hbar^2}{2m}\hat{p}^2_i \quad .$

Este hamiltoniano actúa sobre el espacio de Hilbert de $N$ partículas $\mathcal{H_N}$ . Podemos reescribir el hamiltoniano usando operadores de escalera

H = \sum_{\vec{k}} \frac{ℏ^{2} {\vec{k}}^{2}}{2 metro} C_{\vec{k}}^{†} C_{\vec{k}} .

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m}c^\dagger_{\vec{k}} c_{\vec{k}} \quad .$

Lo que me molesta es lo siguiente: el hamiltoniano es un operador, que actúa sobre el espacio de Hilbert $\mathcal{H_N}$ . Al observar el hamiltoniano usando la segunda cuantización, parece que los operadores de escalera "conectan" diferentes espacios de Hilbert:

C_{\vec{k}} : H_{norte} \to H_{norte - 1}

$c_{\vec{k}}: \mathcal{H_N} \rightarrow \mathcal{H_{N-1}}$

y

C_{\vec{k}}^{†} : H_{norte - 1} \to H_{norte}

$c^{\dagger}_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N-1}} \rightarrow \mathcal{H_{N}}$

Sin embargo, utilizando las relaciones de conmutación, podemos volver a expresar el hamiltoniano dado:

H = \sum_{\vec{k}} \frac{ℏ^{2} {\vec{k}}^{2}}{2 metro} (C_{\vec{k}} C_{\vec{k}}^{†} + 1)

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} (c_{\vec{k}}c^\dagger_{\vec{k}}+\mathbb{1})\quad$

En este caso parece que los operadores cambiaron los espacios, actúan sobre:

C_{\vec{k}}^{†} : H_{norte} \to H_{norte + 1}

$c^{\dagger}_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N}} \rightarrow \mathcal{H_{N+1}}$

y

C_{\vec{k}} : H_{norte + 1} \to H_{norte} .

$c_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N+1}} \rightarrow \mathcal{H_{N}} \quad.$

Me parece muy erróneo que cambiemos la naturaleza de los operadores de escalera simplemente aprovechando la relación de conmutación. Por lo tanto, espero alguna aclaración sobre este problema.

NDewolf

¿Sabes qué es un espacio de Fock?

una mente curiosa

No entiendo cuál es el problema: su segundo conjunto de mapas es el mismo que el primero, simplemente reemplazó la etiqueta

N

$\mathcal{N}$ por

N + 1

$\mathcal{N} + 1$ (tenga en cuenta que

N

$\mathcal{N}$ es una variable libre). Para hacer una analogía: no hay diferencia entre decir que una secuencia está dada por

a_{i} = i

$a_i = i$ a partir de

i = 0

$i=0$ o diciendo que está dada por

a_{i} = i - 1

$a_i = i - 1$ a partir de

i = 1

$i=1$ . ¿Puedes explicar qué tipo de aclaración estás buscando?

Respuestas (3)

Confusión sobre los operadores de escalera

No entiendo cuál es el problema: su segundo conjunto de mapas es el mismo que el primero, simplemente reemplazó la etiqueta $\mathcal{N}$ por $\mathcal{N} + 1$ (tenga en cuenta que $\mathcal{N}$ es una variable libre). Para hacer una analogía: no hay diferencia entre decir que una secuencia está dada por $a_i = i$ a partir de $i=0$ o diciendo que está dada por $a_i = i - 1$ a partir de $i=1$ . ¿Puedes explicar qué tipo de aclaración estás buscando?

Tobias Funke · Answer 1

Creo que el problema radica en que si bien se pueden definir los operadores de creación y aniquilación para un número fijo $N$ , sus conocidas relaciones de conmutación solo tienen sentido si los operadores se extienden al espacio de Fock:

F = ⨁_{norte = 0}^{\infty} H_{norte} .

$\mathcal F = \bigoplus\limits_{N=0}^\infty \mathcal H_N \quad .$

De hecho, escribir

\begin{matrix} (1) & [C, C^{†}] = C C^{†} - C^{†} C \end{matrix}

$[c,c^\dagger] = c c^\dagger - c^\dagger c \tag{1}$

está mal definido si ambos $c$ y $c^\dagger$ son los operadores de creación y aniquilación definidos para un arbitrario pero fijo $N$ , por ejemplo, como mapas

\begin{aligned} C^{†} & : H_{norte} ⟶ H_{norte + 1} \\ C & : H_{norte + 1} ⟶ H_{norte} . \end{aligned}

$\begin{align} c^\dagger&: \mathcal H_N \longrightarrow \mathcal H_{N+1} \\ c&:\mathcal H_{N+1} \longrightarrow \mathcal H_N \quad . \end{align}$ Esto es bastante fácil de ver, ya que el primer término de la RHS en la ecuación

(1)

$(1)$ es un mapa de

H_{N}

$\mathcal H_N$ a

H_{N}

$\mathcal H_N$ , pero el segundo término no puede actuar sobre ningún estado

| ψ ⟩ \in H_{N}

$|\psi\rangle \in\mathcal H_N$ , como

c

$c$ sólo se define para los estados en

H_{N + 1}

$\mathcal H_{N+1}$ . Entonces, la relación de conmutación que ha usado en realidad no es válida.

Sin embargo, si los operadores se extienden a $\mathcal F$ (cf. this ), entonces podemos definir su conmutador correspondiente y obtener las relaciones de conmutación habituales. Entonces tenemos $c,c^\dagger :\mathcal F \longrightarrow\mathcal F$ y podemos identificar un $N$ -estado de partícula $|\psi\rangle \in \mathcal H_N$ con $\mathcal F \ni \psi = (0,\ldots,|\psi\rangle,0,\ldots)$ . Tenga en cuenta que todavía se mantiene que, por ejemplo, $c^\dagger$ mapea un estado con $N$ partículas a un estado con $N+1$ partículas pero solo tenemos uno $c^\dagger$ (por modo) en $\mathcal F$ y no un operador (por modo) para cada $N$ .

En consecuencia, su hamiltoniano es un operador $H:\mathcal F\longrightarrow \mathcal F$ , con la propiedad de que si $\psi \in\mathcal F$ es un $N$ -estado de partícula, entonces $H\psi \in F$ es un $N$ -estado de partícula también, es decir $H$ es el número conservando: $[H,N]=0$ , dónde $N = \displaystyle \sum\limits_k c^\dagger_k c_k$ es el operador numérico en $\mathcal F$ .

Lucas Pritchett · Answer 2

Uno de los problemas es que tus dos hamiltonianos en realidad no son iguales.

El segundo,

H = \sum_{\vec{k}} \frac{ℏ^{2} {\vec{k}}^{2}}{2 metro} C_{k}^{†} C_{k}

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} c^†_{k}c_k$ es el hamiltoniano para un solo bosón, no para múltiples bosones.

Los operadores de creación y aniquilación aquí crean y aniquilan modos de frecuencia particulares para la partícula individual. No están creando y aniquilando partículas. Para realmente hacer que los dos hamiltonianos coincidan, su segunda versión debería ser

H = \sum_{i} \sum_{\vec{k}} \frac{ℏ^{2} {\vec{k}}^{2}}{2 metro} C_{(i), k}^{†} C_{(i), k}

$H = \sum_{i}\sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} c^†_{(i),k}c_{(i),k}$ ahora cada uno

c_{(i), k}

$c_{(i),k}$ es un operador que elimina el modo

\vec{k}

$\vec{k}$ del estado de la

i

$i$ partícula ésima.

La otra parte de su pregunta es cómo cambiar el orden de los $c$ los operadores parecen cambiar en qué espacio de Hilbert actúan. Tu error es la parte donde escribes

C_{k} : H_{norte} \to H_{norte - 1}

$c_k : \mathcal{H}_N \rightarrow \mathcal{H}_{N-1}$

Esta notación implica que $c_k$ es un operador que sólo actúa sobre $\mathcal{H}_N$ . Pero eso definitivamente no es cierto. El $c$ los operadores actúan sobre todo el espacio de Hilbert, que está formado por subespacios con diferentes números de ocupación. Poner en notación matemática:

H = H_{1} \oplus H_{2} \oplus \dots

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1\oplus\mathcal{H}_2\oplus \dots$

C_{k} : H \to H

$c_{k} : \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$

C_{k} (H_{norte}) \subseteq H_{norte - 1} para cualquier norte

$c_k(\mathcal{H}_N) \subseteq \mathcal{H}_{N-1}\text{ for any $N$}$ .

Poner de esta manera, $c^†_kc_k$ y $c_k c^†_k$ actúan claramente sobre el mismo espacio de Hilbert, y no hay problema en trasponerlos.

Creo que su argumento de que "los dos hamiltonianos no son realmente iguales" es incorrecto. los operadores $c_k^\dagger$ y $c_k$ están creando y aniquilando partículas. Hay un solo tipo de bosón, con múltiples partículas de este tipo, y debido a que son indistinguibles no tiene sentido "el $i$ th partícula". Entonces $c_k$ no "elimina el modo $k$ del estado" de una partícula específica, sino que destruye una partícula en modo $k$ (o devuelve el vector nulo cuando no existe tal partícula). ...
... Dicho de otra manera: $c_k^\dagger + c_l^\dagger$ crea una partícula en una superposición de modos $k$ y $l$ , mientras $c_k^\dagger c_l^\dagger$ crea dos partículas, una en $k$ y uno en $l$ . No hay necesidad de un índice $(i)$ aquí.

ohneVal · Answer 3

Creo que probablemente sea incorrecto pensar en la creación/destrucción de partículas para un sistema aparentemente no relativista o incluso más generalmente un sistema sin interacciones. La segunda cuantización en este contexto todavía significa un número fijo de partículas, mientras que la interpretación de los operadores de escalera es excitar o relajar los modos de una partícula dada.

Habiendo dicho eso, debes entender que el operador $c_i$ siempre actúa sobre la porción (factor) del espacio de Hilbert completo (espacio de Fock) ${\cal F} = {\cal H}_1 \otimes \cdots\otimes {\cal H}_i \otimes \cdots\otimes {\cal H}_N$ que corresponde a la $i$ -ésima partícula, es decir, sólo en ${\cal H}_i$ . así que dentro ${\cal H}_i$ tienes todas las excitaciones. y el operador $c_i$ siempre va de ${\cal H}_i$ a sí mismo. Siempre que no haya términos de interacción entre las partículas, los operadores de escalera por sí mismos no conectan diferentes espacios de Hilbert de una sola partícula.

PD: Para los sistemas relativistas, las partículas pueden desintegrarse en otras partículas o crearse radiación o viceversa en ciertos procesos. Esto solo sucede cuando la energía es lo suficientemente alta como para involucrar velocidades relativistas.

¿Puedes dar más detalles sobre tu primera oración? ¿Por qué es importante en este caso si es relativista o no?
El formalismo de creación/aniquilación se usa en muchos sistemas corporales no relativistas todo el tiempo, esta respuesta es muy extraña. El segundo párrafo es aún peor ya que está totalmente equivocado, los operadores de creación/aniquilación conectan explícitamente los sectores del espacio de Hilbert con diferentes números de partículas.
El primer párrafo establece que estoy considerando un número fijo de partículas, en el hamiltoniano dado sin ningún tipo de interacción, este es el caso. El segundo párrafo establece que existen operadores de escalera bien definidos para cada partícula que actúan en el espacio de Hilbert de partículas. Seré aún más explícito para evitar confusiones, avíseme si se puede mejorar algo más
Estoy de acuerdo con @AfterShave en que no puede definir un operador de escalera puramente dentro de un espacio de Hilbert de una sola partícula (o cualquier partícula fija). Tal vez esté pensando en los operadores de escalera de los osciladores armónicos ordinarios (partículas no libres en un $x^2$ potencial)? En la segunda cuantificación, los diferentes niveles de los "osciladores" de partículas libres representan diferentes números de partículas , no diferentes excitaciones de las mismas partículas.
De hecho, estoy pensando en términos de un oscilador armónico y definiendo los operadores de escalera exactamente de la misma manera. Por lo tanto, pueden entenderse como elevando el nivel de energía. Pero no hay cambios en la cantidad de partículas en lo que escribe el OP.
No entiendo completamente tu respuesta. Tenga en cuenta, sin embargo, que es razonable utilizar operadores de creación y aniquilación en el contexto de sistemas de materia condensada no relativistas y estas técnicas se aplican básicamente en todas partes. Hay una plétora de libros que tratan de esto, cf. Altland y Simons. Teoría de Campos de Materia Condensada o Gross y Runge. Teoría de muchas partículas.

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