Transformada de Fourier de un conjunto de L operadores de fermiones

Tengo un conjunto de operadores de creación y aniquilación de fermiones L: { C ^ 1 + , . . . , C ^ L + } y { C ^ 1 − , . . . , C ^ L − } .

Cada C ^ yo + , C ^ yo − operador crea/aniquila respectivamente un fermión en posición yo en una red directa.

El libro "Equilibrium Statistical Physics (3rd Edition)-M. Plischke & B. Bergesen" en la página 190 realiza esa transformación de Fourier en esos operadores:

a ^ q + = 1 L Σ yo = 1 L mi i q yo C ^ yo +

(Físicamente interpreté la acción de a ^ q + como la creación de un fermión con impulso q en la red dual) y la inversa es:

C ^ yo + = 1 L Σ q mi − i q yo a ^ q +
Diciendo que q ∈ { − π , − π L − 1 L , − π L − 2 L , … , 0 , … , π L − 1 L , π }

claramente este conjunto contiene 2 L + 1 valores pero de la teoría de DFT esperaría que este conjunto contenga solo L valores. ¿Por qué ese conjunto de q es tan grande?

Respuestas (1)

Tiene razón al suponer que no debería haber más de L Modos de Fourier. En el libro, especificó que consideró dos conjuntos diferentes de condiciones de contorno.

Para condiciones de contorno periódicas es el problema habitual y se obtienen múltiplos de 2 π / L que escribieron como q = j π / L con j = − L , … , − 2 , 0 , 2 , … , L (tenga en cuenta que sólo los valores pares de j aparecer).

Para condiciones de frontera antiperiódicas ( C L + 1 = − C 1 ), puedes imaginarte copiando el sistema una vez de modo que el supersistema resultante sea periódico con período 2 L una vez más. Por lo tanto, el espaciamiento de los momentos se reduce a π / L . Sin embargo, recuerda que para una función impar solo contribuyen las ondas planas impares (los senos). Análogamente, podemos argumentar aquí que el L -la antiperiodicidad implica que todos los múltiplos pares de π / L no contribuyan de tal manera que el conjunto de momentos consista en q = j π / L con j = − ( L − 1 ) , … , − 1 , 1 , … , L − 1 .

Si te gusta la física estadística, encontrarás que esto te recuerda a las frecuencias de Matsubara donde tomas incluso múltiplos de π / β para bosones y múltiplos impares para fermiones porque las funciones de correlación en tiempo imaginario son β -periódica para bosones y β -antiperiódico para fermiones.

Usted escribió "Para las condiciones de contorno periódicas, es el problema habitual y obtiene múltiplos de 2π/L que escribieron como q=jπ/L con j=−L,…,−2,0,2,…,L (tenga en cuenta que solo aparecen los valores pares de j). pero aquí cuento exactamente los modos L+1, no L.
Ok, resolví: q=+π y q=-π identifican el mismo modo de Fourier.
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