Signo faltante en la ecuación de Dirac

Esto es muy trivial, pero realmente me está molestando. El ansatz para la ecuación de Dirac en términos de$\boldsymbol\alpha$y$\beta$matrices es

$$[i(\partial_t+\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta m]\psi=0,$$ y para obtener la forma estándar en términos de matrices gamma, se define$\gamma^\mu=(\beta, \beta\boldsymbol \alpha)$de modo que multiplicando la ecuación por$\beta$da $$[i(\beta\partial_t+\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta^2m]=[i\gamma^\mu\partial_\mu-m]=0$$ siempre y cuando el índice en$\gamma^\mu$es en realidad un índice vectorial, del cual podemos asegurarnos requiriendo$\psi$transformarse en la representación del espinor. Pero considerando que la expansión correcta del producto de Minkowski es $$\gamma^\mu\partial_\mu=\gamma^0\partial_0-\boldsymbol\gamma\cdot\boldsymbol\nabla=\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla,$$ ¿no debería ser la expresión en el primer término$\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla$, con un signo menos en lugar de un signo más?