Forma explícita de γμ∂μγμ∂μ\gamma^\mu \partial_\mu en la ecuación de Dirac

Question

Forma explícita de γμ∂μγμ∂μ\gamma^\mu \partial_\mu en la ecuación de Dirac

Física
convenciones
ecuación de dirac
relatividad especial

gino

Estoy en una clase introductoria de física de partículas y, al realizar manipulaciones en la ecuación de Dirac, mi instructor amplía la $\gamma^\mu \partial_\mu$ término como:

γ^{m} \partial_{m} = γ^{0} \frac{\partial}{\partial t} + \vec{γ} \cdot \vec{\nabla}

$\gamma^\mu \partial_\mu = \gamma^0 \frac{\partial}{\partial t} + \vec{\gamma}\cdot \vec{\nabla}$

dónde $\vec{\gamma} = (\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)$ , pero que yo sepa,

γ^{m} \partial_{m} = γ^{m} η_{m v} \partial^{v} = γ^{0} \frac{\partial}{\partial t} - \vec{γ} \cdot \vec{\nabla}

$\gamma^\mu \partial_\mu = \gamma^\mu \eta_{\mu \nu} \partial^\nu = \gamma^0\frac{\partial}{\partial t} - \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}$

usando la convención $\eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(+,-,-,-)$ . ¿Me estoy perdiendo de algo?

chico hidro

Estás olvidando un signo menos adicional en el

\partial^{ν} = (\frac{\partial}{\partial t}, - \nabla)

$\partial^\nu = (\frac{\partial}{\partial t}, - \nabla)$

Respuestas (1)

Forma explícita de γμ∂μγμ∂μ\gamma^\mu \partial_\mu en la ecuación de Dirac

Estás olvidando un signo menos adicional en el $\partial^\nu = (\frac{\partial}{\partial t}, - \nabla)$

joshfísica · Answer 1

joshfísica

Sí. Te estás perdiendo el hecho de que está usando la convención.

\nabla = (\partial_{1}, \partial_{2}, \partial_{3})

$\nabla = (\partial_1, \partial_2, \partial_3)$ Opuesto a

\nabla = (\partial^{1}, \partial^{2}, \partial^{3})

$\nabla = (\partial^1, \partial^2, \partial^3)$ La primera convención es, con mucho, la más común en mi experiencia.

gino

Veo. Ahora que lo pienso, en realidad no discutimos la diferencia entre

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ y

\partial^{μ}

$\partial^\mu$ . ¿La única diferencia es un signo menos en la parte espacial?

joshfísica

Sí, esa es la diferencia en este caso. Este es un caso especial de un fenómeno notacional más general utilizado en muchos contextos llamados "índices ascendentes y descendentes" con una métrica.

Pedro Kravchuk

Bueno, no es sólo una convención. Los índices más bajos representan covectores y la derivada es naturalmente un covector.

joshfísica

@PeterKravchuk Bueno, seguro; es una convención bien motivada que es consistente con otras convenciones de notación usadas para vectores y covectores, pero en este contexto la distinción es en gran medida artificial de todos modos debido al isomorfismo tangente-cotangente en las variedades semirriemannianas. Además, además de toda esta charla intelectual, en algún momento debe elegir una definición para el símbolo

\nabla

$\nabla$ , y podrías pensar que una definición es más natural que otra, pero ciertamente podrías haber elegido la otra si realmente hubieras querido.

gino

Peter, estás diciendo que la correspondencia natural es, por ejemplo,

\frac{\partial}{\partial y} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial x_{2}}

$\frac{\partial}{\partial y} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial x_2}$ ?

joshfísica

@Gino

\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x^{2}} = \partial_{2}

$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x^2} = \partial_2$ ; uno suele etiquetar los componentes de coordenadas con un superíndice, y cualquier superíndice en un denominador se trata en general como un subíndice.

Pedro Kravchuk

@joshphysics, lo siento, no he pensado en 'la convención' como en 'la convención para

\nabla

$\nabla$ ')

gino

@joshphysics Gracias, esto es muy útil. Así que estás diciendo eso

\partial_{i} = \frac{\partial}{\partial x^{i}}

$\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$ y

\partial^{i} = g^{i i} \frac{\partial}{\partial x^{i}}

$\partial^i = g^{ii} \frac{\partial}{\partial x^i}$ (sin resumir

i

$i$ , y supongo que la métrica tiene que ser diagonal)?

joshfísica

@ Gino en.wikipedia.org/wiki/Raising_and_lowering_indices Eso debería responder la mayoría de sus preguntas. Consulte también idv.sinica.edu.tw/ftliang/diff_geom *diff_geometry(II)/3.04/cotangent_tangent.pdf y en.wikipedia.org/wiki/Killing_form (busque la frase "subir y bajar"). Además, consulte cualquier libro sobre GR, como los dos primeros capítulos de preposterousuniverse.com/grnotes

Forma explícita de γμ∂μγμ∂μ\gamma^\mu \partial_\mu en la ecuación de Dirac

gino

chico hidro

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