Convención de signos para la ecuación básica de Dirac

La expresion$A^{\mu}B_{\mu}$simplemente significa que

$$A^{\mu}B_{\mu}=A^{0}B_{0}+A^{1}B_{1}+A^{2}B_{2}+A^{3}B_{3}$$

Uso de la métrica de Minkowski con firma$(+---)$escribes esto como

$$A^{\mu}B_{\mu}=A^{\mu}\eta_{\mu\nu}B^{\nu}=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}$$

La métrica simplemente le dice cómo se asocian los componentes de un vector y su vector dual (vector covariante). Con esta métrica y firma específicas tenemos$B_0=B^0$y$B_i=-B^i$,$i=1,2,3$.

En la ecuación de Dirac tenemos

$$\gamma^{\mu}\partial_{\mu}=\gamma^{0}\partial_{0}+\gamma^{1}\partial_{1}+\gamma^{2}\partial_{2}+\gamma^{3}\partial_{3}=\gamma^{0}\partial_{0}+\gamma^{i}\partial_{i}=\\ =\gamma^{\mu}\eta_{\mu\nu}\partial^{\nu}=\gamma^{0}\partial^{0}-\sum_{i=1}^{3}\gamma^{i}\partial^{i}$$

por lo tanto

$$(i\gamma^{0}\partial_{0} + i\gamma^{i}\partial_{i} - m)\psi=0$$

$$%(i\gamma^{0}\partial^{0} - i\sum_{i=1}^{3}\gamma^{i}\partial^{i} - m)\psi=0$$

o

$$(i\gamma^{0}\partial^{0} - i\sum_{i=1}^{3}\gamma^{i}\partial^{i} - m)\psi=0$$

$$\partial_0=\partial^0=\frac{\partial}{\partial t},\hspace{0.2cm}\partial_i=-\partial^i=\vec{\nabla}_i$$