¿Tiene algún significado el signo relativo en la ecuación de Dirac?

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¿Tiene algún significado el signo relativo en la ecuación de Dirac?

Física
fermiones
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ecuación de dirac
matrices de dirac
formalismo lagrangiano

patricio amrein

Sé que hay muchas preguntas sobre este tema y también varias respuestas, pero nunca se dice explícitamente por qué hay un cierto signo antes del término de masa en el Lagrangiano de Dirac. También estoy confundido, ya que el texto que estoy siguiendo, se afirma sin pruebas que

El signo relativo entre los dos escalares de Lorentz se puede deducir, lo que implica que la ecuación de movimiento debe satisfacer la ecuación de Klein-Gordon para cada componente.

Pero cuando traté de llegar a este resultado manteniendo el $\pm$ explícitamente a través de todos los cálculos, vi que se cae de todos modos

L = i \bar{Ψ} (\partial_{m} γ^{m} \pm metro) Ψ

$\mathcal{L} = i\bar{\Psi}(\partial_\mu \gamma^\mu \pm m)\Psi$

Rendimientos de la ecuación de Euler-Lagrange

\frac{\partial L}{\partial \bar{Ψ}} - \partial_{m} \frac{\partial L}{\partial (\partial \bar{Ψ})} = (i \partial_{m} γ^{m} \pm metro) Ψ = 0.

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\Psi}} - \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\bar{\Psi})} = (i\partial_\mu\gamma^\mu \pm m)\Psi = 0.$

Multiplicando el conjugado hermitiano del operador por la izquierda

\begin{aligned} 0 & = (- i \partial_{v} γ^{v} \pm metro) (i \partial_{m} γ^{m} \pm metro) Ψ \\ = (\partial_{m} γ^{m} \partial_{v} γ^{v} \pm i metro \partial_{m} γ^{m} \mp i metro \partial_{v} γ^{v} + {metro}^{2}) Ψ \\ = (\frac{1}{2} [\partial_{m} γ^{m} \partial_{v} γ^{v} + \partial_{m} γ^{m} \partial_{v} γ^{v}] + {metro}^{2}) Ψ \\ = (\frac{1}{2} {γ^{m}, γ^{v}} \partial_{m} \partial_{v} + {metro}^{2}) Ψ \\ = (\partial_{m} \partial^{m} + {metro}^{2}) Ψ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= (-i\partial_\nu\gamma^\nu \pm m)(i\partial_\mu\gamma^\mu \pm m)\Psi \\ &=(\partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu \pm im\partial_\mu\gamma^\mu\mp im\partial_\nu\gamma^\nu+m^2)\Psi \\ &= (\frac{1}{2} \left[\partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu + \partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu\right] + m^2)\Psi \\ &= (\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_\mu\partial_\nu + m^2)\Psi \\ &= (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\Psi = 0, \end{align}$

donde la matriz identidad ha sido suprimida. Así que esto parece ser la Ecuación de Klein-Gordon para cada componente del espinor, pero el $\pm$ abandona al principio.

Por lo tanto, mi pregunta ¿importa qué signo elegimos (a nivel del Lagrangiano), y hay una razón más profunda de por qué elegir uno u otro?

lalala

Su densidad lagrangiana parece tener la i en el lugar equivocado.

Respuestas (2)

¿Tiene algún significado el signo relativo en la ecuación de Dirac?

Su densidad lagrangiana parece tener la i en el lugar equivocado.

phydev · Answer 1

Digamos, $\Psi$ es una solución de la ecuación de Dirac, es decir,

(i γ^{m} \partial_{m} - metro) Ψ = 0.

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\Psi=0.$

multiplicando por $\gamma^5$ y usando $\gamma^5\gamma^{\mu}=-\gamma^{\mu}\gamma^5$ ,

(i γ^{m} \partial_{m} + metro) γ^{5} Ψ = 0.

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+m)\gamma^5\Psi=0.$ De este modo,

γ^{5} Ψ

$\gamma^5\Psi$ es también una solución con masa

- m

$-m$ . Las dos soluciones corresponden a los dos factores de

E^{2} = p^{2} + m^{2}

$E^2=p^2+m^2$ . Dado que la ecuación de Dirac es lineal, las combinaciones lineales de sus soluciones:

ψ_{L} = \frac{1}{2} (1 - γ^{5}) Ψ

$\psi_L=\frac{1}{2}(1-\gamma^5)\Psi$ y

ψ_{R} = \frac{1}{2} (1 + γ^{5}) Ψ

$\psi_R=\frac{1}{2}(1+\gamma^5)\Psi$ , también habrá soluciones.

Todo esto básicamente significa que la ecuación de Dirac describe dos soluciones y dependiendo de la elección de la base (por $\gamma$ -matrices), estas soluciones podrían interpretarse como partículas y antipartículas (en base de Dirac) o espinores de Weyl de dos componentes de izquierda y derecha (en base quiral). Estos componentes por separado son soluciones a la ecuación de Klein-Gordon.

EDITAR: Observe que en la última expresión de la pregunta, no hay $\gamma$ -matriz, por lo que cada componente satisface la ecuación de KG individualmente. Según la desaparición del $\pm$ signo, creo que tiene que ver con el hecho de que EOM para ambos $\Psi$ y $\bar{\Psi}$ (Ecuación de Dirac y su adjunto, respectivamente) se puede obtener del mismo Lagrangiano variando con respecto a $\bar{\Psi}$ y $\Psi$ , respectivamente. Entonces, en ese sentido, no importa con cuál comiences (el Lagrangiano de Dirac con el signo menos o su adjunto con el signo más). Llevan la misma información; ¡son simplemente contiguos entre sí!

Para una explicación detallada, vaya aquí .

Un hilo similar es este .

Oke, ¿entonces cambiar el signo en el Lagrangiano corresponde a una redefinición de lo que es un Weyl-spinor diestro o zurdo? Por lo tanto, ¿no sería posible determinar el signo del término de masa lagrangiano, simplemente afirmando que los MOE deben cumplir la ecuación de Klein-Gordon?
@PatrickAmrein vea la respuesta EDITADA arriba. Espero que esto complete la discusión.

ajmeteli · Answer 2

El cambio de signo en la masa en la ecuación de Dirac es equivalente a reemplazar $\gamma^\mu$ con $-\gamma^\mu$ , pero matrices $-\gamma^\mu$ tienen las mismas relaciones de anticonmutación que $\gamma^\mu$ , entonces obtienes una ecuación equivalente, si no me equivoco. Las soluciones específicas pueden tener una forma diferente, pero la física parece ser la misma.

¿Tiene algún significado el signo relativo en la ecuación de Dirac?

patricio amrein

lalala

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