Radio espectral de un gráfico bipartito completo

Question

Radio espectral de un gráfico bipartito completo

matrices
Matemáticas
radio espectral
matriz de adyacencia
teoría de grafos espectrales
valores propios-vectores propios

Sal

Dejar $p, q > 0$ ser enteros y dejar $K_{p,q}$ sea un grafo bipartito completo. Dejar $A(K)$ denote la matriz de adyacencia de $K_{p,q}$ de acuerdo con un conveniente etiquetado de vértices, que es el $2 \times 2$ matriz de bloques

[\begin{matrix} 0_{pag \times pag} & 1_{pag \times q} \\ 1_{q \times pag} & 0_{q \times q} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 0_{p \times p} & 1_{p \times q}\\ 1_{q \times p} & 0_{q \times q} \end{bmatrix}$

Sé que el radio espectral de $A(K)$ es $\sqrt{pq}$ pero no pudo demostrarlo. Traté de encontrar el determinante del polinomio característico para encontrar el espectro, pero tampoco pude. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas (1)

Radio espectral de un gráfico bipartito completo

Topología más débil · Answer 1

El radio espectral de $A(K)$ es la raíz cuadrada del radio espectral de $A(K)^2$ . Tenga en cuenta que

A (k)^{2} = (\begin{matrix} q 1_{pag \times pag} & 0 \\ 0 & pag 1_{q \times q} \end{matrix}) .

$A(K)^2 = \begin{pmatrix} q\mathbf{1}_{p \times p} & 0\\ 0 & p\mathbf{1}_{q \times q} \end{pmatrix}.$ Por eso

det (X I - A (k)^{2}) = det (X I - q 1_{pag \times pag}) det (X I - pag 1_{q \times q}) = (X - pag q)^{2} X^{pag + q - 2} .

$\det(xI - A(K)^2) = \det(xI - q\mathbf{1}_{p \times p})\det(xI - p\mathbf{1}_{q \times q}) = (x - pq)^2x^{p + q - 2}.$

Lo siento, pero ¿cómo encontraste $\det(xI - q\mathbf{1}_{p \times p})$ ?
$pq$ es claramente un valor propio de $q\mathbf{1}_{p \times p}$ (llevar $\mathbf{1}_{p \times 1}$ como un vector propio) y esta matriz tiene rango 1, entonces $0$ es un valor propio con multiplicidad $p - 1$ , lo que implica que $pq$ tiene multiplicidad $1$ y no puede haber otros valores propios.
Se podría utilizar el lema del determinante matricial para calcular el polinomio característico de cada bloque.

Radio espectral de un gráfico bipartito completo

Sal

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Topología más débil

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Topología más débil

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rodrigo de azevedo

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