Significado preciso de la composición de ket y bra, p. ej. |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ||\psi\rangle\langle\psi|

Question

Significado preciso de la composición de ket y bra, p. ej. |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ||\psi\rangle\langle\psi|

gj255

Actualmente estoy estudiando matrices de densidad y me he encontrado con frecuencia con la construcción

| ψ ⟩ ⟨ ψ | .

$|\psi\rangle\langle\psi| \,.$

¿Cuál es el significado formal de esta composición? entiendo $\langle \psi|$ ser un elemento del espacio dual (a ese espacio vectorial para el cual $|\psi\rangle$ es un miembro) pero no entiendo muy bien lo que significa ponerlos juntos.

He estado tratando este objeto como un operador lineal en el espacio de vectores ket, y asumiendo una cierta asociatividad a su composición, tal que

(| ψ ⟩ ⟨ ψ |) | ϕ ⟩ = | ψ ⟩ (⟨ ψ | ϕ ⟩) = α | ψ ⟩,

pero, ¿hay alguna manera de hacer esto más formal? Gracias.

Respuestas (2)

Significado preciso de la composición de ket y bra, p. ej. |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ||\psi\rangle\langle\psi|

Valter Moretti · Answer 1

Es fácil. Asumir que $\psi \in \cal H$ se normaliza a $1$ . En este caso, $|\psi\rangle\langle\psi|$ no es más que el proyector ortogonal $P_\psi$ en el espacio lineal unidimensional generado por el vector $\psi$ .

Poniendo $|\psi\rangle$ y $\langle\psi|$ juntos simplemente significa explotar el producto tensorial .

Si $\phi' \in \cal H'$ el espacio dual (topológico) de $\cal H$ y $\psi \in \cal H$ , está bien definido $\psi \otimes \phi' \in \cal H \otimes \cal H'$ como un operador lineal (acotado) de $\cal H$ a $\cal H$ .

Cuando $\psi' \in \cal H'$ es la imagen de $\psi \in \cal H$ bajo el (anti)-isomorfismo de Riesz que identifica $\cal H$ con $\cal H'$ , y $||\psi||=1$ , después $P_\psi :=\psi \otimes \psi' \in \cal H \otimes \cal H'$ es el proyector ortogonal sobre el subespacio cerrado generado por $\psi$ . Otra forma de escribirlo es simplemente $|\psi\rangle\langle\psi|$ .

Kostya · Answer 2

Sugiero pensarlo así:

| ψ ⟩ = (\begin{matrix} ψ_{1} \\ ψ_{2} \\ \dots \\ ψ_{norte} \end{matrix}), ⟨ ψ | = (\begin{matrix} ψ_{1}^{*} ψ_{2}^{*} \dots ψ_{norte}^{*} \end{matrix})

$\left|\psi\right.\rangle = \left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right)\;,\qquad \langle\left.\psi\right| = \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right)$ Y usando la regla estándar ("cada elemento en la fila por cada elemento en la columna") para la multiplicación de matrices. De esta manera obtienes:

⟨ ψ | ψ ⟩ = (\begin{matrix} ψ_{1}^{*} ψ_{2}^{*} \dots ψ_{norte}^{*} \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{1} \\ ψ_{2} \\ \dots \\ ψ_{norte} \end{matrix}) = {| ψ_{1} |}^{2} + {| ψ_{2} |}^{2} + \dots + {| ψ_{norte} |}^{2}

$\langle\left.\psi\right.\left|\,\psi\right.\rangle = \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right) =\left|\psi_1\right|^2 +\left|\psi_2\right|^2+\cdots+\left|\psi_n\right|^2$ Y para tu pregunta:

| ψ ⟩ ⟨ ψ | = (\begin{matrix} ψ_{1} \\ ψ_{2} \\ \dots \\ ψ_{norte} \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{1}^{*} ψ_{2}^{*} \dots ψ_{norte}^{*} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} ψ_{1} ψ_{1}^{*} & ψ_{1} ψ_{2}^{*} & \dots & ψ_{1} ψ_{norte}^{*} \\ ψ_{2} ψ_{1}^{*} & ψ_{2} ψ_{2}^{*} & \dots & ψ_{2} ψ_{norte}^{*} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ψ_{norte} ψ_{1}^{*} & ψ_{norte} ψ_{2}^{*} & \dots & ψ_{norte} ψ_{norte}^{*} \end{array})

$\left|\,\psi\right.\rangle \langle\left.\psi\right|= \left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\cdots\\\psi_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\psi_1^*\,\psi_2^*\,\cdots\,\psi_n^*\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} \psi_1\psi_1^* & \psi_1\psi_2^* & \cdots & \psi_1\psi_n^*\\ \psi_2\psi_1^* & \psi_2\psi_2^* & \cdots & \psi_2\psi_n^*\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \psi_n\psi_1^* & \psi_n\psi_2^* & \cdots & \psi_n\psi_n^*\\ \end{array}\right)$

Probablemente sería bueno comentar que en su $ket=column$ expresión está abusando de la notación, porque esta ecuación no tiene sentido si se entiende literalmente: ket es un vector, mientras que la columna es su representación en una base dada.

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Valter Moretti

Kostya

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