Elementos matriciales de operadores lineales: ¿se requiere una base ortonormal?

En una de mis primeras clases de álgebra lineal, aprendí que un mapa lineal A actuar sobre un espacio vectorial podría representarse mediante una matriz A i j en concordancia con reglas:

A ( mi j ) = A i j mi i ,

dónde mi i fue alguna base elegida. En mecánica cuántica, la regla para obtener los elementos de la matriz de un operador lineal particular es aparentemente muy diferente:

A i j = ⟨ i | A | j ⟩

Quedé bastante satisfecho cuando me convencí de que para las bases ortonormales , estas dos definiciones coinciden. Entonces, mi pregunta es esencialmente esta: ¿la regla anterior para operadores cuánticos es válida solo para bases ortonormales? El problema que veo, si vale para todas las bases, es que las dos definiciones no coinciden. Entonces, cuando probé resultados en mi clase de álgebra lineal como "la traza de un mapa lineal es un objeto significativo, ya que la traza de su representación matricial es independiente de la base", esto estaba usando la primera definición, y entonces seguramente no funcionará . t ser cierto si usamos la segunda definicin?

Según esta página de Wikipedia sobre matrices de densidad, en la tercera ecuación de la página, sugiere que podemos escribir la traza de un operador ρ A al igual que

t r ( ρ A ) = ∑ norte ⟨ tu norte | ρ A | tu norte ⟩ = ∑ norte ( ρ A ) norte norte ( s mi C o norte d   r tu yo mi )

incluso si la base { | tu norte ⟩ } no es ortonormal. ¿No dará esto una traza diferente a la evaluada usando la primera regla para los elementos de la matriz de un mapa lineal? Gracias.

Respuestas (2)

En general, es válido solo para bases ortonormales. En el resto de esta publicación, solo considero el caso de dimensión finita, aunque todo se puede extender al caso de dimensión infinita bajo hipótesis adecuadas. En general, tiene la relación completamente general, válida para todo tipo de base:

A i j = mi ∗ i ( A mi j )
dónde { mi ∗ i } es la base en el espacio dual H ′ asociado con la base { mi k } uno inicial H , completamente definido por los requisitos:
mi ∗ i ( mi k ) = d k i .
En este caso:
A = A i j
La noción de traza de un operador lineal A : H → H (¡no es una forma cuadrática!) no necesita la existencia de un producto escalar para ser definido. Es consecuencia de la noción de contracción de tensores. En componentes, se ve fácilmente que t r ( A ) := ∑ i A i i no depende de la elección de la base.

En presencia de un producto escalar, utilizando bases ortonormales, todo el formalismo general que he presentado brevemente se especializa en el estándar, como escribiste correctamente.

Gracias, ¿significa esto que el artículo de Wikipedia que vinculé es incorrecto?
No tengo tiempo para verificar, sin embargo, si establece que la traza se puede calcular usando el producto escalar Y una base que no es ortonormal, ¡evidentemente es incorrecto!

I) En un espacio vectorial de dimensión finita V , el rastro T r A = ∑ i A i i de un mapa lineal A : V → V se puede evaluar con una base arbitraria ( mi i ) i = 1 , … , norte . Esto se debe a que la traza es invariante bajo transformaciones de similitud generales .

II) Nótese en particular, que el concepto de producto interior, norma, ortogonalidad, etc., no es necesario para la definición de traza.

III) Existen generalizaciones pertinentes para espacios vectoriales de dimensión infinita.

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