Demostrar que la solución de la ecuación de von Neumann nunca se estabilizará si el hamiltoniano y la matriz de densidad inicial conmutan

Question

Xing-dong

Dada la ecuación de von Neumann

\frac{d}{d t} ρ (t) = - i [H, ρ (t)] = - i {mi}^{- i H t} [H, ρ (0)] {mi}^{i H t} .

$\frac{d}{dt} \rho(t) = -i [H, \rho(t)] = -i e^{-iHt}[H, \rho(0)]e^{iHt}.$

si sabemos que $[H, \rho(0)] \neq 0$ , ¿cómo probamos en detalle que la solución de la ecuación de von Neumann nunca se estabilizará, es decir,

\underset{t \to \infty}{límite} \frac{d}{d t} ρ (t) \neq 0 ?

$\lim_{t\to\infty}\frac{d}{dt} \rho(t) \neq 0~?$

¿A qué te refieres con estabilidad?

@yuggib Significa que la matriz de densidad nunca se acercará al estado estacionario.

@yuggib Significa que la matriz de densidad nunca se acercará al estado estacionario.

qmecanico · Answer 1

Sugerencias para la pregunta (v2):

Primero tenga en cuenta que la norma del operador
$\begin{matrix} (1) & | | A | | = | | tu A | | = | | A tu | | \end{matrix}$ $\tag{1}||A||~=~||UA||~=~||AU||$ de un operador $A$ es invariante si componemos con un operador unitario $U$ desde la izquierda o la derecha.
Por lo tanto $\dot{\rho}(t)$ no es el operador cero:
$\begin{matrix} (2) & | | \dot{ρ} (t) | | = | | [H, ρ (t)] | | \overset{(1)}{=} | | [H, ρ (0)] | | \neq 0. \end{matrix}$ $\tag{2}|| \dot{\rho}(t) || ~=~ || [H, \rho(t)] || ~\stackrel{(1)}{=}~ || [H, \rho(0)] || ~\neq~ 0.$