¿Por qué no es esta una operación realizable en un sistema cuántico?

Question

¿Por qué no es esta una operación realizable en un sistema cuántico?

Wemblem

Dejar $\rho = \begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ , $\rho' = \begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ , $\rho'' = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ (todos los operadores de densidad).

Considere una operación física $\phi$ tal que $\phi(\rho) = \rho$ , $\phi(\rho') = \rho'$ , $\phi(\rho'') = \dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}\ 4&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}$ .

Por que es $\phi$ ¿No es una operación física realizable? Ciertamente conserva rastro y positividad...

usuario10851

¿Cuál es su definición de "operación física"?

alex a

¿Tenemos algún conocimiento particular sobre

ϕ

$\phi$ ? es

ϕ

$\phi$ un operador lineal?

Wemblem

@AlexA: Sí,

ϕ

$\phi$ es un operador lineal.

Wemblem

@ChrisWhite: Básicamente, un mapa afín que opera dentro del conjunto de operadores de densidad.

usuario10001

@wemblem ¿Puede editar su pregunta para aclarar lo que está tratando de preguntar? En particular, ¿qué es un "mapa afín"? Según su definición, una "operación física" debería ser un mapa afín; entonces, ¿por qué no simplemente verifica si el mapa es "afín" o no? (Lo que sea que eso signifique)

Wemblem

@ user10001: Hasta donde yo sabía, un mapa afín es equivalente a un mapa que conserva el rastro y la positividad. Pero aparentemente, en este caso, hay algo más en la historia. De ahí el punto de esta pregunta.

usuario10851

¿Qué fuente da esta equivalencia? si estas diciendo

ϕ (X) = A X + B

$\phi(X) = AX + B$ para

2 \times 2

$2\times2$ matrices

A

$A$ y

B

$B$ , entonces la acción sobre

ρ

$\rho$ y

ρ^{'}

$\rho'$ define todo el mapa, con

A = I

$A = I$ y

B = 0

$B = 0$ , tan claramente

ϕ (ρ^{″})

$\phi(\rho'')$ no puede ser otra cosa que

ρ^{″}

$\rho''$ .

dan stahlke

@wemblem: como Norbert implica en su respuesta a continuación, las "operaciones físicas" son completamente positivas, mapas de conservación de trazas (mapas CPTP). Cualquier cosa que pueda hacer a un estado es siempre un mapa CPTP, por el contrario, cualquier mapa CPTP se puede realizar físicamente. El mapa en la pregunta no es CPTP. No creo que usaría la frase "afín" aquí, ya que estos mapas son superoperadores lineales.

Respuestas (2)

¿Por qué no es esta una operación realizable en un sistema cuántico?

¿Tenemos algún conocimiento particular sobre $\phi$ ? es $\phi$ un operador lineal?
@ChrisWhite: Básicamente, un mapa afín que opera dentro del conjunto de operadores de densidad.
@wemblem ¿Puede editar su pregunta para aclarar lo que está tratando de preguntar? En particular, ¿qué es un "mapa afín"? Según su definición, una "operación física" debería ser un mapa afín; entonces, ¿por qué no simplemente verifica si el mapa es "afín" o no? (Lo que sea que eso signifique)
@ user10001: Hasta donde yo sabía, un mapa afín es equivalente a un mapa que conserva el rastro y la positividad. Pero aparentemente, en este caso, hay algo más en la historia. De ahí el punto de esta pregunta.
¿Qué fuente da esta equivalencia? si estas diciendo $\phi(X) = AX + B$ para $2\times2$ matrices $A$ y $B$ , entonces la acción sobre $\rho$ y $\rho'$ define todo el mapa, con $A = I$ y $B = 0$ , tan claramente $\phi(\rho'')$ no puede ser otra cosa que $\rho''$ .
@wemblem: como Norbert implica en su respuesta a continuación, las "operaciones físicas" son completamente positivas, mapas de conservación de trazas (mapas CPTP). Cualquier cosa que pueda hacer a un estado es siempre un mapa CPTP, por el contrario, cualquier mapa CPTP se puede realizar físicamente. El mapa en la pregunta no es CPTP. No creo que usaría la frase "afín" aquí, ya que estos mapas son superoperadores lineales.

Norberto Schuch · Answer 1

Norberto Schuch

Su mapa no logra ser completamente positivo. Si lo aplica a la mitad de un estado de enredo máximo $(|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle)/\sqrt{2}$ , puedes ver fácilmente que $\phi(\rho)=\rho$ y $\phi(\rho')=\rho'$ implica que $\phi(|0\rangle\langle1|) = \alpha |0\rangle\langle1|$ y $\phi(|1\rangle\langle0|) = \alpha^* |1\rangle\langle0|$ para que el estado resultante sea positivo (con $|\alpha|\le1$ ). Sin embargo, esto es incompatible con la última condición.

Wemblem

¿Cómo se representa el estado máximamente entrelazado en forma de matriz?

Wemblem

Podría ser

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ ?

Norberto Schuch

Debería leer sobre algunos conceptos básicos de la información cuántica ... es

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] / 2

$\left[\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{matrix}\right]/2$ , y desea aplicar

ϕ \otimes I

$\phi\otimes I$ , es decir, usted aplica

ϕ

$\phi$ a cada

2 \times 2

$2\times 2$ bloquear individualmente. Para

ϕ

$\phi$ para ser una operación física, el estado resultante debe ser positivo.

Wemblem

Entonces es trivial que

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} \otimes \dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ +

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \otimes \dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ =

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$ , pero ¿cómo

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ entra en juego el término?

Wemblem

Lo siento, solo he tratado con mapas completamente positivos en el sentido de que la transposición no es completamente positiva.

qmecanico · Answer 2

Una operación cuántica física ${\cal E}$ se puede describir como un mapa entre el conjunto de operadores de densidad de la forma

mi (ρ) = \sum_{k} {mi}_{k} ρ {mi}_{k}^{†}, \sum_{k} {mi}_{k}^{†} {mi}_{k} \leq 1,

${\cal E}(\rho) =\sum_k E_k \rho E_k^{\dagger}, \qquad \sum_kE_k^{\dagger}E_k \leq {\bf 1},$

cf. Árbitro. 1. Como señala correctamente Norbert Schuch, esto implica que una operación física cuántica ${\cal E}$ debe ser un mapa completamente positivo . En esta respuesta, notamos que el ejemplo de OP no es una operación cuántica por una razón aún más elemental: su imagen (de la bola de Bloch $B^3$ ) no se encuentra dentro de la bola de Bloch

ρ = \frac{1}{2} (1 + σ), σ = \sum_{i = 1}^{3} X^{i} σ_{i}, \sum_{i = 1}^{3} (X^{i})^{2} \leq 1.

$\rho~=~\frac{1}{2}({\bf 1} + \sigma), \qquad \sigma = \sum_{i=1}^3x^i\sigma_i, \qquad \sum_{i=1}^3(x^i)^2\leq 1.$

En detalle, deja

ρ^{+} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], ρ^{-} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], ρ_{1} = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}], ρ_{2} = \frac{1}{5} [\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}],

$\rho^{+} ~=~ \begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \quad \rho^{-} ~=~ \begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}, \quad \rho_{1} ~=~ \frac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \quad \rho_{2} ~=~ \frac{1}{5}\begin{bmatrix}\ 4&2 \\ 2&1 \end{bmatrix},$

con

mi (ρ^{\pm}) = ρ^{\pm}, mi (ρ_{1}) = ρ_{2} .

${\cal E}(\rho^{\pm})~=~\rho^{\pm}, \qquad {\cal E}(\rho_1)~=~\rho_2.$

En otras palabras, el polo norte y sur de la esfera de Bloch $S^2$ son puntos fijos, y el estado puro $(1,0,0)$ se asigna al estado puro $(\frac{4}{5},0,\frac{3}{5})$ en el $xz$ avión.

De la linealidad se sigue que

mi (1) = 1, mi (σ_{3}) = σ_{3}, mi (σ_{1}) = \frac{4}{5} σ_{1} + \frac{3}{5} σ_{3} .

${\cal E}({\bf 1})~=~{\bf 1}, \qquad {\cal E}(\sigma_3)~=~\sigma_3, \qquad {\cal E}(\sigma_1)~=~\frac{4}{5}\sigma_1+\frac{3}{5}\sigma_3.$

En otras palabras, el gran círculo en el $xz$ plano se asigna a una elipse en el $xz$ plano, que pasa la mitad del tiempo fuera (y la mitad del tiempo dentro) del círculo máximo. Entonces la imagen de ${\cal E}$ no se encuentra dentro de la bola de Bloch como debería.

Referencias:

MA Nielsen e IL Chuang, Computación cuántica e información cuántica, (2011) Sección 8.2.

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