Significado intuitivo del factor 2 en la fórmula de altura máxima de tiro vertical h=v2/2gh=v2/2gh=v^2/2g

La mejor intuición es un cálculo, pero en este caso simple, el cálculo es realmente intuitivo, por lo que no debe apagarse cuando escuche la palabra "cálculo".

La altura alcanzada por la velocidad inicial$v$es la altura del objeto después de la velocidad inicial$v$cae a$0$(y luego invierte el signo) debido a la aceleración hacia abajo$g$.

¿Cuánto tiempo se tarda en reducir la velocidad de$v$a$0$? Bueno, la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo y es$g$. Entonces, el tiempo necesario para reducir la velocidad a cero es

$$t=\frac vg.$$

Ahora, qué tan lejos llega el objeto después de un tiempo$t$? Es simple: la distancia es la velocidad por el tiempo. Pero la velocidad está cambiando. Debes usar la velocidad promedio para calcular la distancia:

$$h=\bar v\cdot t.$$

¿Cuál es la velocidad media? Debido a que la velocidad está cayendo linealmente, es solo$1/2$de la suma de la velocidad inicial$v$y la velocidad final$0$:

$$\bar v = \frac{v+0}{2} = \frac v2$$ Entonces tenemos $$h=\bar v\cdot t = \frac v2\cdot t = \frac v2\cdot \frac vg = \frac{v^2}{2g}$$ el factor de $1/2$surgió de la necesidad de calcular la velocidad promedio y el promedio de dos números es la mitad ( $1/2$) de su suma.

No necesito energía cinética para hacer el cálculo, como puedes ver. Pero el factor$1/2$en la fórmula de la energía cinética$E=mv^2/2$tiene un origen totalmente análogo: es el trabajo total que tienes que hacer para acelerar el objeto desde la velocidad$v=0$a la velocidad$v$. La fuerza que uno tiene que vencer es$F=ma$y el trabajo es$F\cdot \Delta x$pero$\Delta x=\bar v \cdot t = (0+v)t/2$entonces tenemos

$$E = ma\cdot x = ma\cdot vt/2 = mv^2/2$$ donde usé $v=at$porque se supuso que la velocidad aumentaba uniformemente de nuevo. Una vez más, calculé la velocidad promedio que resultó ser $1/2$del máximo (final).

De manera equivalente, el factor$1/2$proviene del hecho de que la integral indefinida de$x$encima$x$es$x^2/2$. Por ejemplo, la integral$\int v\,dt = \int at\,dt=at^2/2$da la distancia total recorrida en movimiento acelerado, y todos los demás ejemplos anteriores son análogos. Pero uno no tiene que aprender la teoría completa de la integración para este resultado: la integral es el área bajo la curva y para una función lineal$y=x$Entre$x=0$y$x=x$, el área es solo un triángulo cuya área es simplemente$1/2$del área del cuadrado o rectángulo; de nuevo, esto$1/2$es el mismo$1/2$obtuvimos del promedio anterior. Entonces, las consecuencias de esta integral simple en particular pueden entenderse incluso sin un conocimiento más amplio de integración (o diferenciación), y eso es lo que se hizo anteriormente.

El factor$2$viene de la ecuacion$v_f^2 = v_i^2 - \color{#C00}2gh$. Así es como derivamos la ecuación para la altura máxima.

$$v_f^2 = v_i^2 - 2gh$$ Ahora, queremos $v_f$ser $0$(porque a la altura máxima, la velocidad siempre es cero). Calculador $h$, tenemos: $$0 = v^2 - 2gh \Rightarrow -v^2 = -2gh \Rightarrow v^2 = 2gh \Rightarrow h = \dfrac{v^2}{2g}$$ Puede omitir la derivación real porque la intuición está en la primera oración.

La altura es igual a la velocidad media multiplicada por el tiempo para alcanzar la altura máxima, por lo que

$$h = v_{ave} t.$$

La aceleración de la gravedad es el cambio de velocidad dividido por el tiempo, por lo que al reorganizar

$$t =(v_{final} - v_{initial})/(-g)=(0-v)/(-g)=v/g.$$

Ahora, recordando que para un movimiento uniformemente acelerado la velocidad promedio es la mitad de la suma de las velocidades inicial y final,

$$v_{ave} = (0+v)/2=v/2.$$

Luego, al combinar esas tres ecuaciones,

$$h=(v/2)(v/g)=v^2/2g.$$

Esencialmente, el factor de la mitad proviene del promedio de la velocidad variable sobre la trayectoria.

Cuál es el efecto de g, equivale a la velocidad añadida o restada cada segundo de su velocidad inicial u. A partir de esto, usted sabe intuitivamente que lanzando una pelota hacia arriba, tendrá una velocidad de 0 dentro de$\frac{u}{g}$segundos (es decir, ha alcanzado la altura máxima). Dibujar un gráfico vt para la condición dada:

el área bajo la curva vt te da el desplazamiento, así que calculando el área bajo el gráfico obtienes:

$$\frac{1}{2} \times base \times height = \frac{1}{2} \times \frac{u}{g} \times u = \frac{u^2}{2g}$$

Me parece bastante intuitivo de esta manera.

Entonces, respondiendo a su pregunta de por qué hay un factor de$\frac{1}{2}$, podrías pensar en ello como$\frac{u^2}{g}$es la distancia total recorrida (el doble de la altura máxima) pero solo necesitas la mitad de la distancia total recorrida.