¿Cómo podemos explicar la diferencia en el cambio de energía cinética, debido a diferentes marcos de referencia?

Inicialmente tu pelota tiene algo de energía ($2J$) y algo de impulso ($2Ns$). Y la pared tiene algo de energía ($0J$) y algo de impulso ($0Ns$). Y hay algo de energía interna,$U=U_0,$lo que aumenta el calor.

Luego la pelota tiene algo de energía ($0J$) y algo de impulso ($0Ns$). Y la pared tiene algo de energía ($0J$) y algo de impulso ($2Ns$). Y hay algo de energía interna,$U=U_0+2J,$lo que aumentó el calor.

Tenga en cuenta que la pared tiene algo de impulso pero no tiene energía. ¿Por qué? Porque tiene una masa infinita y$K.E.=p^2/(2m).$Y tiene una masa infinita porque esa es la única forma en que puede adquirir el impulso de la pelota sin cambiar su velocidad.

Así que en el cuadro en movimiento todo es diferente.

Inicialmente tu pelota tiene algo de energía ($8J$) y algo de impulso ($4Ns$). Y la pared tiene algo de energía ($\infty J$) y algo de impulso ($\infty Ns$).

Luego la pelota tiene algo de energía ($2J$) y algo de impulso ($2Ns$). Y la pared tiene algo de energía ($\infty J$) y algo de impulso ($\infty Ns$).

La energía y el impulso se conservan en ambos marcos, pero no es útil cuando tienes objetos infinitamente masivos.

¿Qué pasa si le das a la pared una masa finita? Si tienes una bola de masa$m$y un muro de masa$M$y el impulso inicial es$p$entonces hay una energía inicial$p^2/(2m).$

Entonces, después de la colisión, la velocidad final es$v_1=p/(m+M).$Esto significa que la energía cinética de la pelota es$\frac{mp^2}{2(m+M)^2}$y la energía cinética de la pared es$\frac{Mp^2}{2(m+M)^2}.$Entonces la energía cinética total después es$\frac{p^2}{2(m+M)}.$

Entonces el cambio en la energía cinética es$\frac{p^2}{2m}-\frac{p^2}{2(m+M)}$que es igual$\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$Esta es la cantidad de energía que se convierte en calor. Y antes de continuar, este resultado tiene una gran interpretación física en términos de lo que sucede cuando M tiende a infinito. Tenías una energía inicial de$p^2/(2m)$y$M/(m+M)$de ella se convierte en calor, el resto se convierte en energía cinética de la pared.

Ahora veremos el marco que se mueve una velocidad adicional$u$con respecto a la pared.

La cantidad de movimiento inicial de la pelota es$p+um$y su energía cinética inicial es$(p+um)^2/(2m).$Y la pared tiene un momento inicial de$uM$y su energía cinética inicial es$(uM)^2/(2M).$Entonces la energía cinética inicial total es$\frac{(p+um)^2}{2m}+\frac{(uM)^2}{2M}$que es igual$\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}.$

Entonces, después de la colisión, la velocidad final es$v_2=\frac{1}{m+M}(p+um+uM).$Esto significa que la energía cinética de la pelota es$\frac{m(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}$y la energía cinética de la pared es$\frac{M(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}.$Entonces la energía cinética total después es$\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}.$

Entonces el cambio en la energía cinética es$\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}-\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}=$

$-\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$Y el signo menos es que resté accidentalmente la inicial de la final.

Timeo ha dado la respuesta técnica completa: la energía cinética del propio muro cambia un poquito. Dado que la energía cinética escala como$v^2$, esto es totalmente despreciable en el primer caso (donde la pared comienza con$v = 0$) pero realmente significativo en el segundo caso (donde el muro comienza con$v = 2$), y ahí es donde va la energía que falta.

Afortunadamente, en general, sabemos que las cosas funcionarán cuando se transforme a diferentes marcos de referencia; ¡lo hemos probado! La mejor manera de expresar este hecho es la ecuación$\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0$, dónde$T$es el tensor tensión-energía; puedes expandir esto para mostrar que las cantidades$\int d^3x T^{0\mu}$se conservan todos. Las graciosas posiciones de los índices$\mu$y$\nu$decirnos exactamente cómo las cantidades$\partial$y$T$transforme entre marcos de referencia, de modo que con solo mirar sus posiciones sabemos que el impulso/energía se conserva en cualquier marco.

Imagina una pelota ($mass= 1kg$) moviéndose a una velocidad$2 m/s$hacia una pared. Cuando golpea la pared, se detiene repentinamente, liberando así toda su KE en forma de calor. Aquí,$Initial K.E. = (1/2)*m*v^2 = 2J$, y la KE final es obviamente cero. Entonces el calor liberado ($Final KE - Initial KE$) es igual$2J$.

Ahora, supongamos que me subo a un automóvil que se mueve a$2 m/s$hacia la pelota que se aproxima desde la dirección de la pared. Entonces, para mí, la pelota se mueve inicialmente a$4 m/s$, y después del impacto, se mueve a$2 m/s$(velocidad relativa). En este caso, el$Initial KE=8J$, y el$FinalBallKE=2J$, y el calor liberado sigue siendo$2J$. En este caso la energía cinética de la pared$WallKE = InitialKE - HeatLiberated - FinalBallKE$, (debido a la conservación de la energía) es igual a 4J.

Entonces, su observación fue casi correcta, solo que no se tuvo en cuenta la energía cinética de la pared.

En el marco del automóvil, la pelota inicialmente tiene 8J de energía cinética en relación con usted, sin embargo, solo tiene 2J de energía cinética en relación con la pared que también se mueve en el marco del automóvil.