¿Tiempo que tarda un proyectil en un plano inclinado?

Una partícula se proyecta hacia arriba de un plano inclinado de ángulo base$\beta$con la horizontal con una velocidad inicial$V$. La partícula choca elásticamente con el plano inclinado y rebota verticalmente. Si la partícula vuelve al punto de proyección después de un tiempo
$\large T = \dfrac {aV}{g \sqrt{1+b\sin^2\beta}}$
luego ingrese el valor de$a + b$

Nota :$g$denota la aceleración de la gravedad.

Bueno, antes que nada, estoy confundido con la palabra "vertical". Vertical como al hacer un ángulo de$90^\circ$con el plano o la horizontal?? Confundido por esto, procedí en dos casos: -

CASO I Desde el avión

Entonces, cuando una partícula se proyecta hacia arriba en un plano inclinado, el tiempo que tarda en completar su movimiento de proyectil es:

$T$=$\frac{2u\sin(\alpha - \beta)}{g\cos\beta}$...... (i)

Dónde$\alpha$es el ángulo que forma el proyectil con la horizontal (el ángulo menor) y$\beta$es el ángulo del plano inclinado.

Cuando se proyecta por un plano inclinado:

$T$=$\frac{2u\sin(\alpha + \beta)}{g\cos\beta}$............. (ii)

Aquí,$\alpha$y$\beta$tienen el mismo significado, ángulo con la horizontal y ángulo con el plano inclinado respectivamente.

Ahora, por lo que se da en la pregunta, sabemos que el alcance del proyectil será el mismo en ambos casos. Y tenemos que encontrar la suma de los tiempos para subir y bajar del avión.

Cuando se proyecta por el plano,$\alpha + \beta$es 90. Ahora, dado que el proyectil regresa al punto de proyección, los rangos hacia arriba y hacia abajo del plano inclinado deben ser iguales.

Las fórmulas para estos son:

Arriba del avión:$\frac{u^2}{g\cos\beta}[\sin(2\alpha - \beta) - \sin\beta]$......... (iii)

Abajo del avión:$\frac{u^2}{g\cos\beta}[\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta]$............... (iv)

(Alfa y beta tienen los mismos significados)

entonces (iii) = (iv) y$\alpha + \beta$es 90. Usando esto, obtenemos: -

$\sin(2\alpha - \beta) = 3\sin\beta$................... (v)

Ahora el tiempo total sería (i) + (ii), lo que implica la variable \alpha. Entonces necesito eliminar la variable$\alpha$. Podría hacerlo usando (v), pero eso implicaría escribir$\cos2\alpha$y$\sin2\alpha$ ÚNICAMENTE en términos de$\sin\alpha$y luego usando ese valor de$\sin\alpha$para eliminar$\alpha$de (i) + (ii). Sin embargo, no creo que la solución sea tan larga/desordenada y estoy como un 99% seguro de que debe haber una forma más corta/limpia.

CASO II Desde la horizontal

Prácticamente hago los mismos pasos que en el caso I. En este caso, obtengo al igualar los rangos: -

$\sin(2\alpha - \beta) = \sin\beta$que me da$\alpha = \beta$. Esto no solo hace que el tiempo en el avión sea 0, sino que también hace que el tiempo en el avión sea$\frac{2u}{g}$, que es lo mismo para un cuerpo en caída libre/1D. Además, en este caso, creo que la partícula volverá a su posición inicial, por lo que nunca volverá a su posición original. Así que estoy como un 80% seguro de que este es el caso equivocado, pero no acabo de entender la esencia del movimiento de un proyectil a lo largo de un plano inclinado, así que creo que puedo estar equivocado.

Además, la palabra "elástica" significa que no se pierde energía correctamente, por lo que la partícula rebota con la misma velocidad con la que golpeó. Pero creo recordar vagamente haber leído en alguna parte que también tiene que hacer algo para formar ángulos iguales con lo normal o algo así. Mi mejor conjetura es que esto podría usarse en algún lugar y, por lo tanto, proporcionarnos una relación más fácil entre$\alpha$y$\beta$. O esto, o en el peor de los casos, he entendido completamente mal el problema. Por favor, corríjame si me equivoco en alguna parte de esta explicación. Hice mi mejor esfuerzo para cumplir con la política de tareas. Por favor, tenga la amabilidad de señalar cualquier error que pueda haber cometido en este sentido.

Gracias