Significado físico del potencial en la ecuación del calor.

La ecuación del calor, tal como la escribiste, modela el flujo de energía a través de la conducción térmica (calor) a través de alguna región con condiciones de contorno bien definidas. Todavía tiene que proporcionar los detalles de la región límite, por lo que mi respuesta seguirá siendo general y vaga.

El$\alpha$es el "coeficiente de difusión", que es la forma isotrópica (solo términos diagonales) del tensor de difusión ; por desgracia, la ecuación del calor es un caso especial de la ecuación de difusión. Entonces, este coeficiente nos dice cuán difuso térmicamente es el material que compone la región (¿cuán difusamente distribuida está la materia a través de la cual fluye el calor?).

el significado físico del coeficiente$a$

Lo siento, al principio leí mal la ecuación (al principio pensé que era simplemente un término forzado). Y luego, en segundo lugar, lo confundí con un término convectivo, pero eso no es correcto ya que un término convectivo suele ser proporcional a$\frac{\partial u}{\partial x}$(ver ecuación 27 aquí ). He encontrado que el término,$a(x)u$, podría representar un término radiativo aproximado que depende de la posición (para pérdidas radiativas pequeñas), es decir, consulte la última ecuación aquí . En ese caso,$a$determina la fuerza de la radiación emitida por el conductor en función de la posición. Este término de radiación solo es significativo para variaciones de temperatura en la barra que son pequeñas comparadas con la temperatura del entorno, y en el caso de fluctuaciones mayores se debe usar un$u^4$dependencia en su lugar (de acuerdo con la Ley de Stefan-Boltzmann).

Aquí hay un artículo muy bueno para problemas de calor no homogéneo.

Como se discutió aquí en "Incorporación de transferencia de calor lateral" (descargo de responsabilidad: mi sitio), si está considerando un problema de transferencia de calor transitorio 1-D como lo sugieren las variables$x$y$t$, entonces la ecuación

representa la conducción axial con conductividad térmica$k$, disipación de calor lateral lineal (a través de conducción, convección y/o radiación ligera) con coeficiente espacialmente dependiente$h(x)$y almacenamiento de energía con capacidad calorífica específica$c$y densidad$\rho$.$T(x,t)$es la desviación de temperatura de algún valor ambiental.

La calificación de radiación "ligera" es para asegurar la linealidad de$T(x,t)$en ese término. por convección,$h$es simplemente un coeficiente de convección. Como se comenta en el enlace,$h$también podría representar la conducción lateral a un sumidero de temperatura adyacente (por ejemplo, para una viga microfabricada suspendida).

Si cambiamos las variables de$T(x,t)$a$u$y dividir por$c\rho$, entonces nosotros tenemos

con$\alpha$siendo la difusividad térmica , que coincide con su ecuación e indica que$a(x)$corresponde a un coeficiente de calor lateral espacialmente variable dividido por la capacidad calorífica específica y la densidad. Esta es la interpretación física de ese parámetro para este tipo de sistema (resuelvo la ecuación aquí ).

El nombre físico propio de su ecuación es ecuación de difusión con un término fuente . La ecuación se puede reorganizar a la ecuación de continuidad -$u_t-\alpha u_{xx} = Q$. Para$Q=0$Se puede demostrar que la solución dependiente del tiempo tiene una norma independiente del tiempo, que es una manifestación de la ley local de conservación de la masa. El término fuente significa que las partículas pueden crearse y destruirse localmente, según$Q(x)$variación.
La ecuación de continuidad es una reafirmación de la ley de Gauss: en un volumen infinitesimal dado, el cambio en la cantidad de partículas en el volumen es exactamente igual a la cantidad de partículas que cruzaron la superficie hacia adentro o hacia afuera de este volumen. Puede adquirir algo de intuición física explorando el aspecto compresible de la ecuación de Navier-Stockes . La compresibilidad es exactamente la violación de la ecuación de continuidad.

La solución de forma cerrada se da aquí . Este extraño documento parece estar relacionado; sin embargo, no se encontraron artículos revisados ​​por pares.

En el estudio de la transferencia térmica dentro de un disipador de calor, tenemos un término de la forma a * (T-Text) que corresponde a los intercambios convectivos conductivos entre el disipador de calor y el aire que lo rodea: es proporcional a la diferencia de temperatura de acuerdo con la ley de Newton. El primer término, en alfa, corresponde a la conducción térmica dentro del material. La densidad de corriente térmica es proporcional a la primera derivada espacial de la temperatura y la variación de esta densidad conduce a la segunda derivada (Laplaciana). El alfa en la ecuación es la difusividad térmica (conductividad/mu*C)

La ecuación describe el flujo de calor en presencia de fuentes o sumideros. El primer término del lado derecho es el término de difusión normal. El segundo término se puede considerar como un término fuente o sumidero. Para obtener más detalles, consulte: https://www.math.ubc.ca/~peirce/M257_316_2012_Lecture_19.pdf