¿Qué condiciones de contorno obedece un perfil de temperatura inicial de estado estacionario que evoluciona de acuerdo con la ecuación de flujo de calor?

Question

¿Qué condiciones de contorno obedece un perfil de temperatura inicial de estado estacionario que evoluciona de acuerdo con la ecuación de flujo de calor?

Física
temperatura
estado estable
termodinámica
conduccion de calor

RESPLANDOR

Una varilla cilíndrica de longitud $L$ está aislado sobre su superficie curva. El extremo de la varilla en $x = 0$ está en contacto con un baño de calor a temperatura $\Theta_0$ y el extremo de la varilla en $x = L$ está en contacto con un baño de calor a temperatura $\Theta_L$ . Después de algún tiempo, se alcanza un estado estacionario. La solución de estado estacionario (independiente del tiempo) de la ecuación del calor es
$Θ (X) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$ La ecuación de calor que describe el perfil de temperatura de la varilla es $\frac{1}{D} \frac{\partial Θ}{\partial t} = \frac{\partial^{2} Θ}{\partial X^{2}}$ $\frac{1}{D}\frac{\partial\Theta}{\partial t}=\frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2}$ Dónde $D$ es una constante y $\Theta(x,t)$ es la temperatura en la posición $x$ y tiempo.

En el momento $t = 0$ , la varilla se desconecta de los baños de calor. Suponiendo que no hay calor $Q$ posteriormente sale o entra en la varilla, anote las condiciones de contorno/iniciales:
$(a) en X = 0,$ $(a) \quad\text{at}\qquad x = 0,$ $(b) en X = L,$ $(b) \quad\text{at}\qquad x = L,$ $(C) en t = 0 para 0 \leq X \leq L$ $\qquad\qquad\qquad\qquad(c) \quad\text{at}\qquad t = 0 \quad \text{for}\qquad 0 \le x \le L$ (Sugerencia: recuerde la ley de flujo de calor de Fourier $\frac{1}{A}\frac{\partial Q}{\partial t}=−k\frac{\partial \Theta}{\partial x}$ , dónde $k$ es la conductividad.)

La respuesta dada a las partes $(a)$ , $(b)$ & $(c)$ (respectivamente) son

La condición de frontera en $x = 0$ es que no fluye calor hacia adentro o hacia afuera del extremo de la barra. Esto implica que el gradiente de temperatura en $x = 0$ es cero:
$\frac{\partial Θ (X, t)}{\partial X} |_{X = 0} = 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0$

La condición de frontera en $x = L$ es que no fluye calor hacia adentro o hacia afuera del extremo de la barra. Esto implica que el gradiente de temperatura en $x = L$ es cero:
$\frac{\partial Θ (X, t)}{\partial X} |_{X = L} = 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0$

La condición inicial en $t = 0$ para $0 \le x \le L$ es que la distribución de temperatura inicial es la distribución de temperatura de estado estacionario:
$Θ (X) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$

Estoy luchando por encontrar la intuición física para estas condiciones límite/iniciales. Al leer el comentario debajo de esta pregunta, aprendí que el estado estacionario en este contexto significa que sale tanto calor del $\Theta_L$ baño de calor a medida que fluye hacia el $\Theta_0$ baño de calor, y reconozco que esto definitivamente no es lo mismo que el equilibrio térmico.

Sin embargo, si el gradiente de temperatura en $t=0$ es cero en $x=0,L$ después de desconectar la varilla, ¿cómo puede haber transferencia de calor alguna (incluso para $t \gt 0$ )?

Dicho de otra manera, sé que no saldrá calor de ninguno de los extremos de la varilla (ya que está aislado), y no entrará calor en ninguno de los extremos de la varilla (ya que los baños de calor ya no están presentes). Pero debe haber una transferencia de calor desde $x=0$ y/o $x=L$ a lo largo de la barra (en la dirección hacia el centro de las barras). Si este no fuera el caso, ¿cómo evolucionaría el perfil de temperatura?

Y evoluciona como la respuesta final para $\Theta(x,t)$ (trabajo omitido) es

Θ (X, t) = \frac{Θ_{0} + Θ_{L}}{2} + \frac{2 (Θ_{L} - Θ_{0})}{π^{2}} \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{[(- 1)^{norte} - 1]}{{norte}^{2}} porque (\frac{norte π X}{L}) Exp (- \frac{{norte}^{2} π^{2} D}{L^{2}} t)

$\Theta(x,t)=\frac{\Theta_0+\Theta_L}{2}+ \frac{2 \left(\Theta_L-\Theta_0\right)}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[(-1)^n-1\right]}{n^2}\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 D}{L^2}t \right)$

En pocas palabras, no entiendo físicamente por qué en $t=0$

\frac{\partial Θ (X, t)}{\partial X} |_{X = 0 / L} = 0

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$ como por mi lógica debe haber flujo de calor a lo largo de la barra (no fuera o dentro de la barra) incluso en

t = 0

$t=0$ .

Respuestas (2)

¿Qué condiciones de contorno obedece un perfil de temperatura inicial de estado estacionario que evoluciona de acuerdo con la ecuación de flujo de calor?

Ragnar · Answer 1

Puedes pensar en este problema en dos partes. La primera parte tiene lugar mientras la varilla está conectada a los baños térmicos, es decir $t < 0$ . Durante esta parte, las condiciones de contorno en la varilla son

\begin{matrix} Θ (X = 0, t < 0) = Θ_{0} \\ Θ (X = L, t < 0) = Θ_{L} . \end{matrix}

$\begin{gather} \Theta(x = 0,t < 0) = \Theta_0\\ \Theta(x = L,t < 0) = \Theta_L. \end{gather}$ Como resultado de estas condiciones de contorno, la temperatura en el cilindro evolucionará de acuerdo con la ecuación del calor hasta que la temperatura en el cilindro esté descrita por

Θ (X, t < 0) = Θ_{0} + \frac{Θ_{L} - Θ_{0}}{L} X

$\begin{equation} \Theta(x,t < 0)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x \end{equation}$

La segunda parte de este problema tiene lugar en $t = 0$ donde los extremos de la barra se retiran de los baños y se aíslan para que no haya transferencia de calor fuera de los extremos. Las condiciones de contorno, como se indica en su pregunta son

\begin{aligned} \frac{\partial Θ (X, t)}{\partial X} |_{X = 0} = 0 \\ \frac{\partial Θ (X, t)}{\partial X} |_{X = L} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0\\ \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0. \end{align}$ La barra ya no está en estado estacionario porque las condiciones de contorno han cambiado.

Sin embargo, si el gradiente de temperatura en $t = 0$ es cero en $x = 0,L$ después de desconectar la varilla, ¿cómo puede haber transferencia de calor alguna (incluso para $t > 0$ )?

Estas condiciones de contorno solo establecen que no hay gradiente de temperatura en los extremos de las varillas ( $x = 0$ y $x = L$ ) pero no dice que no se pueda transferir calor dentro de la varilla ( $0<x<L$ ). Como puede ver en su condición inicial en $t = 0$ , la temperatura en la varilla no es uniforme y en ausencia de cualquier fuente de calor, el calor se difundirá hasta que tenga la misma temperatura en todas partes.

Gracias por su respuesta, creo que estamos llegando a algún lado, lo que estoy preguntando aquí es en el punto. $x=0$ en $t=0$ , la BC establece que no entra calor (desde el exterior) ni sale (desde el interior de la varilla). Pero, ¿por qué no hay transferencia de calor hacia o desde el punto $x=0$ en $t=0$ ? Es casi como si el BC solo tuviera en cuenta la transferencia de calor dentro o fuera de la varilla e ignorara la transferencia de calor a través de ella.
@BLAZE Las condiciones de contorno se denominan así porque solo son válidas exactamente en el contorno. El BC no dice que no haya gradiente de temperatura dentro de la varilla, solo que nada de calor sale de los extremos de la varilla. En este caso $\partial \Theta/\partial x \neq 0$ para $0<x<L$ (al menos hasta el equilibrio) y, por lo tanto, el calor se mueve hacia / lejos de los extremos. Entonces tiene razón, el BC solo le dice lo que está sucediendo en los límites y uno necesita usar la ecuación de transferencia de calor para determinar qué está sucediendo entre los límites.

Gert · Answer 2

En pocas palabras, no entiendo físicamente por qué en $t=0$ :

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$

como por mi lógica debe haber flujo de calor a lo largo de la barra (no fuera o dentro de la barra) incluso en $t=0$ .

De hecho, hay un flujo de calor a lo largo de la barra para $t>0$ , fluyendo de caliente a frío.

Pero no hay calor que fluya hacia adentro o hacia afuera en $x=0$ o $x=L$ . Y debido a que el flujo de calor es impulsado por un gradiente de temperatura, acc. Fourier :

\dot{q} = - k \nabla Θ

$\dot{q}=-k\nabla \Theta$

Si $\dot{q}=0$ , y con $k\neq 0$ , entonces por definición también $\nabla \Theta=0$ , por lo tanto, las condiciones de contorno del gradiente de temperatura cero para $x=0,L$ .

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