Derivación de la ecuación del calor

Creo que una muy buena intuición sobre lo que está "haciendo" el laplaciano es mirar la forma de implementarlo en una simulación computacional, por ejemplo, la implementación de su método de diferencias finitas. Dado que es la suma de las segundas derivadas no cruzadas, si el sistema se aproxima con una cuadrícula cuadrada de tamaño de paso$h$, el laplaciano se aproxima como (puede pensar en esto usted mismo ya que es bastante fácil o simplemente buscarlo en Google):

$$\Delta u(x,y) \approx \frac{u(x-h, y) + u(x+h, y) + u(x, y-h)+ u(x, y+h) - 4u(x,y)}{h^2}$$

Mirando detenidamente esta expresión, significa calcular la suma de la diferencia entre todos los lados vecinos. Imagina ahora que hay un gradiente de calor.$u$de izquierda a derecha. Esto significará que la diferencia$u(x-h, y)-u(x, y)$es positivo mientras$u(x+h, y)-u(x, y)$es negativo Por lo tanto, el nuevo valor después de un tiempo$dt$en el sitio$(x,y)$habrá un equilibrio entre el calor que entra por la izquierda y el calor que sale por la derecha. Entonces, básicamente, lo que está haciendo el laplaciano es "homogeneizar" el valor de$u$en el espacio. Es por eso que encuentras el operador laplaciano en cualquier ecuación que involucre difusión.

En el caso de que no existan fuentes o sumideros en el sistema ($f(x,y) = 0$,$\forall(x,y)$), la ecuación básicamente resulta ser$\partial_t u = \Delta u$(ecuación de difusión), y el sistema distribuye el calor de la manera más homogénea posible. Con fuentes o sumideros, el sistema intenta pero las fuentes/sumideros$f(x,y)$evitar que lo hagan por completo.

El tema suele ser tratado en libros de Ecuaciones en Derivadas Parciales, suele ser uno de los primeros casos (interesantes) que se presentan. Permite una buena introducción a las series de Fourier (históricamente originadas en el problema) y las funciones de Green. El de J. David Logan (Springer) tiene un tratamiento del tema, y ​​puedes encontrar las aproximaciones en diferencias finitas en el último capítulo.